thumb|right|200px|Krog in kvadrat z enako ploščino. Kvadrat ima stranico , če je polmer kroga enak 1
Članek obravnava zgodovino računanja številskih vrednosti in približkov ter ugotavljanja značilnosti matematične konstante π. Zgoščeni pregled podaja preglednica časovni pregled računanja števila π.
Število π je že dolgo znano. Simbol zanj je predlagal leta 1706 Jones. Leta 1737 je Euler prevzel Jonesov zapis števila in kmalu je postal standarden. Pred tem je Euler uporabljal črko p.
Ker je π transcendentno število, zanj ne obstajajo lepi sklenjeni izrazi. Zaradi tega je treba pri računanju vzeti njegove približke. Za mnogo praktičnih tehniških primerov so na primer dovolj: vrednost 3,14, neregularni ulomek:
z dolžino periode 6 , ali ulomek:
z dolžino periode 13, čeprav inženirji velikokrat uporabljajo 3,1416 (5 števk) ali 3,14159 (6 števk) za še boljšo točnost. Preprost in lahko zapomljiv ulomek:
s prvimi tremi lihimi števili je večji od π in točen na 7 števk, njegova perioda pa ima dolžino 112. Imenuje se tudi Metiusovo število...
Neskončni navadni verižni ulomek za π je :
s prvimi konvergenti:
in približno vrednostjo, izpisano na prve 204 in zadnjih 150 od 12,1 bilijonov in petdeset decimalk desetiško :
thumb|right|200px|Ploščina kroga iz Rhindovega papirusa
Prvi praštevilski števci konvergentov navadnega verižnega ulomka za π so :
3, 103993, 833719, 4272943, 411557987, 7809723338470423412693394150101387872685594299, ...
imenovalci pa :
7, 113, 265381, 842468587426513207, ...
Zgodnja računanja
Sumerci (okoli leta 2000 pr. n. št.) niso našli boljšega približka za π, kot je tudi poznejši biblijski π = 3, pri čemer naj bi bila ploščina kroga enaka 1/12 kvadrata njegovega obsega, kar je hkrati ničti približek z navadnim končnim verižnim ulomkom:
To spoznanje je verjetno še starejše. Pozneje, okoli leta 1900 pr. n. št., so uporabljali tudi približek:
kar je skoraj 0,5 % točno.
Indijski astronom Jadžnavalkja je v delu Šatapatha Brahmana okoli leta 1800 pr. n. št. podal astronomske približke, ki dajo vrednost:
kar je zaokroženo točno na dve decimalki.
Staroegipčanski pisar Ahmes je okoli leta 1650 pr. n. št. zapisal najstarejše znano besedilo, ki podaja približno vrednost za π. Rhindov papirus je nastal nekako v 17. stoletju pr. n. št. in opisuje vrednost približka 256/81 ali 3,160. Dolg je 20 m in širok 33 cm, odkrili pa so ga leta 1858. V njem je zbranih 84 aritmetičnih, algebrskih in geometrijskih nalog z rešitvami. V njem piše, da je ploščina kroga enaka ploščini kvadrata s stranico 8/9 premera tega kroga:
oziroma:
Kako so geometri v svetiščih prišli do te številke, se danes ne ve več. Morda ta vrednost števila predstavlja srednjo vrednost med polovičnima obsegoma dveh pravilnih mnogokotnikov z 12 stranicami, enega včrtanega in enega očrtanega krožnici s polmerom 1:
kar da verižni ulomek:
in približke:
Tudi v Stari zavezi je na podlagi besedila mogoče razbrati vrednost za π, ki znaša okroglih 3. V Stari zavezi je navedena sumerska vrednost π v zvezi z velikim premičnim umivalnikom, ki so ga zaradi velikosti imenovali »ulito morje« in, ki je od okoli leta 968 pr. n. št. stal v Salomonovem templju v Jeruzalemu:
»Nato je naredil ulito morje. Od enega roba do drugega je merilo deset komolcev, bilo je okrogle oblike, pet komolcev visoko, trideset komolcev pa je znašal njegov obseg.« ().
Po tem zapisu je razmerje med obsegom in premerom kroga enako kot sumersko:
Poleg sumerskih in judovskih »meritev« so to vrednost v tem času privzeli tudi Kitajci.
Indijski džainistični matematiki so okoli leta 500 pr. n. št. v svojih svetih knjigah uporabljali vrednost za π s pripadajočimi začetnimi približki neskončnega verižnega ulomka:
Ta približek so uporabljali tudi arabski matematiki. Ker je kvadratno iracionalno število, je prava vrednost:
V džainističnih verskih knjigah Šulvasutrama in Surja-sidhati so za π navedene vrednosti π = 3 do 3,16 in π = 3,06 do 3,08, saj so tedanji matematiki uporabljali vrednost s pripadajočimi začetnimi približki neskončnega verižnega ulomka:.
Prava vrednost je:
Uporabljali so tudi še približka:
in
Kako so prišli do tega rezultata, ni znano, čeprav je do tedaj daleč najboljši približek. V Indiji so ga uporabljali še tisoč let pozneje.
Popper je domneval, da je Platon (427 pr. n. št.–347 pr. n. št.) morda poznal približek:
točen na dve decimalki. Platon naj bi verjel, da je ta vrednost točno enaka π, zaradi česar je bil tudi prepričan v vsezmožnost matematične geometrije.
Starogrški matematiki so okoli leta 310 pr. n. št. uporabljali znani prvi približek z navadnim končnim verižnim ulomkom π = [3; 7] = 22/7, ki so ga prav gotovo poznali tudi v starem Egiptu. Iz geometrije piramid iz Giz po točnem računu izhaja še malo boljši približek od zadnjega:
vendar pa velja le to, da se tak račun izvede danes in ni znano, ali je ta približek sam prišel v geometrijo piramid ali so ga zavestno vgradili. Prava vrednost je:
Če se ga prevede na navadni ulomek, se dobi še en lep in dokaj točen približek:
Evklid (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.) je v svojem geometrijskem zborniku Elementi podal opredelitev kroga in povezavo med njegovim obsegom , ploščino in polmerom , ki je, delno v današnji pisavi:
Zanj so bile ploščine krogov sorazmerne s kvadrati polmerov, pri čemer pa sorazmernostne konstante π še ni omenjal. thumb|right|200px|Arhimedova metoda računanja števila π
Arhimed (287 pr. n. št.–212 pr. n. št) je okoli leta 230 pr. n. št. v svojem delu Merjenje kroga () s konceptom neskončno majhne količine in metodo izčrpavanja našel približek za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi mnogokotniki s 6, 12, 24, 48 in 96 stranicami. Ko je razširil aproksimacijo na mnogokotnike s številom stranic n = 96 = 25 ·. 3, je odkril:
oziroma
Če se označi na zgornji način, v današnji pisavi razmerje med obsegom in premerom kroga s in razmerje med ploščino kroga in ploščino kvadrata okrog očrtane krožnice s , se vidi, da razmerji nista odvisni od velikosti kroga. To so vedeli že Sumerci in stari Egipčani. Niso pa vedeli, da sta obe števili in v ozki medsebojni zvezi. To nista vedela niti Pitagora, niti Evklid in vsa starogrška matematična šola pred Arhimedom. Da velja razmerje , ne glede na velikost kroga, so odkrili starogrški matematiki malo pred Arhimedom v začetku 4. stoletja pr. n. št. Arhimed je dalje dokazal, da sta obe števili pravzaprav isti in da v zgornjih enačbah za ploščino in obseg kroga nastopa ena konstanta, kar ni bilo samo po sebi razumljivo. Pred njim so uporabljali popolnoma dve različni vrednosti π.. Konstanta obsega je enaka konstanti ploščine . Evklid je v svojih Elementih dokazal konstanto ploščine za kroge (, 12. knjiga, trditev 2). Ni pa nikjer omenjal razmerja ali česar koli podobnega. Arhimed je v Merjenju kroga dokazal, da velja (trditev 1):
nikjer pa sicer ni eksplicitno navedel, da je razmerje konstanta. Vendar to dejstvo posredno izhaja iz njegovega dela in poleg prve trditve iz Merjenja kroga je treba Evklidovim izrekom dodati dva njegova aksioma iz dela O krogli in valju:
Heron (okoli 20–okoli 100) je uporabljal vrednost:
Čang Heng (78–139) je v eni od svojih enačb za izračun prostornine krogle uporabljal džainistično različico . Do te sicer ne najbolj točne vrednosti, se je dokopal po teoretični poti in ne po praktični, kot mnogi pred njim. V enem od svojih del Líng ksiàn je navedel tudi približek 730/232 s periodo dolžine 28, oziroma :
Ptolemej (okoli 85–okoli 170) je okoli leta 150 izračunal vrednost v šestdesetiškem številskem sistemu in dobil:
Uporabljal je tudi Arhimedovo zgornjo vrednost π = 22/7 in 355/113, katere izvor je neznan. Dober zgodovinski približek v šestdesetiškem sistemu je tudi:
ki vsebuje prve štiri konvergente, in je točen na 6 decimalk. Naslednja števka v 60. sistemu je 0.
Vang Fan (229–267) je uporabljal približek:
Liu Hui (okoli 220–okoli 285) je okoli leta 250 neodvisno od Arhimeda po isti metodi z aproksimacijo mnogokotnika s številom stranic n = 3072 = 210 · 3 (3079) dobil vrednost za π 3,14159, oziroma približek:
thumb|right|200px|Huijev način reševanja z vrčtanimi mnogokotniniki
Dal je tudi približka:
in:
Lin Či je okoli leta 289 uporabljal sumersko različico π = 25/8. Malo pozneje je Ču Čungdži (429–501) leta 470 neodvisno od Ptolemeja našel vrednost tretjega približka z navadnim končnim verižnim ulomkom (密率, Milu):
Kako je prišel do rezultata, ni znano, najverjetneje pa je približek dobil po mnogokotniški metodi s krogu včrtanim pravilnim mnogokotnikom s številom stranic n = 24576 = 213 · 3. Uporabljal je tudi vrednost 22/7 (约率, Juelu). Okoli leta 480 je prvo vrednost še točneje omejil z:
s čimer je imel pravilnih kar 7 decimalk. Srednja vrednost da približek:
ki je točen na 8 decimalk.
Srednji vek
Tudi Aryabhata I. (476–550) je uporabljal že znani dober približek, ki ga je podedoval od staroindijske džainistične matematike. V svojem matematičnem delu Arjabhatija iz leta 498 (499) je zapisal: »Štiri prišteto k sto in pomnoženo z osem prištej k dvaišestdeset tisoč, pa boš dobil kroga približen obseg s premerom dveh desettisočev.«
Iz zapisa sledi:
thumb|right|200px|Lütticheva kvadratura kroga iz 11. stoletja
Izvor tega približka pri njem ni znan, morda je do njega prišel po mnogokotniški metodi z mnogokotnikom s številom stranic n = 384 = 27 · 3. Brahmagupta (598–668) je okoli leta 625 uporabljal že znano džainistično vrednost . Bhaskara II. (1114–1185) je okoli leta 1150 za običajno delo uporabljal , za točno vrednost Aryabhatov približek in za približno vrednost Arhimedov zgornji približek π = 22/7.
Fibonacci (1170–1250) je prišel v svoji knjigi Praktična geometrija (Practica Geometriae), napisani leta 1220, z računanjem obsega krožnice, oziroma ploščine kroga, na osnovi krožnici včrtanih in očrtanih pravilnih mnogokotnikov do vrednosti:
Našel je tudi racionalni približek:
Madhava (1350–1425) je zapisal neskončno vrsto za π:
ki jo je dobil iz potenčne vrste za funkcijo arkus tangens. Podal je tudi člen z ostankom za napako po k-členih. Člen je zapisal v treh oblikah:
Tretja oblika da zelo točen približek za π. Ni znano, kako je prišel do teh členov. Leta 1400 je prek neskončne vrste:
s prvimi 21. členi izračunal π na 11 desetiških mest 3,14159265359. Z drugo metodo, kjer je neskončni vsoti dodajal zadnji člen z ostankom , je izboljšal rezultat in z vrednostjo n = 76 zapisal π na 13 pravilnih decimalk 3,1415926535898. Njegova približka sta bila od 5. stoletja najbolj točna. V delu Sadratnamala, ki je verjetno nastalo pred Madhavo, je navedena vrednost π = 3,14159265358979324, točna na 17 decimalk.
Al-Kaši (okoli 1370–1429) je v Traktatu o krožnici julija 1424 izračunal približek π na 9 decimalk točno v 60. sistemu:
oziroma v desetiškem sistemu:
kar na 16 decimalk, pri čemer je uporabil pravilni mnogokotnik s številom stranic . thumb|right|200px|Kvadratura kroga iz Dürerjeve knjige Navodila za merjenje s šestilom in ravnilom (Underweysung der Messung mit dem...), 1525
Von Peurbach (1423–1461) je v svojih matematičnih tablicah navajal Ptolemejevo vrednost π = 377/120. Pri tem je sumil, da ima π »točno« vrednost, kar pomeni, da je dvomil v to, da se lahko π predstavi v obliki končnega ulomka.
16. in 17. stoletje
Da Vinci (1452–1519) je poskušal rešiti problem kvadrature kroga na svoj edinstven način, pri čemer je naredil valj, katerega višina je bila enaka polovici premera njegove osnovne ploskve. Plašč tega valja je imel ploščino:
ki je enaka ploščini kroga osnovne ploskve. Če je plašč razgrnil, je dobil pravokotnik, ki je imel ploščino enako ploščini kroga.