Legendrov simból [ležándrov ~] je v teoriji števil simbol, ki se uporablja pri faktorizaciji in kvadratnih ostankih. Simbol je uvedel Adrien-Marie Legendre.
Definicija
Legendrov simbol je poseben primer Jacobijevega simbola. Odvisen je od tega ali za dve celi števili p in a velja:
(oziroma p deli a), ali (oziroma a je kvadrat mod p) ali (oziroma a ni kvadrat mod p).
Če je p liho praštevilo in a celo število je Legendrov simbol:
Simbol se označuje tudi kot:
Lastnosti Legendrovega simbola
Legendrov simbol ima več uporabnih lastnosti, ki pospešijo računanje: (je popolnoma multiplikativna funkcija za zgornji argument) Če je a ≡ b (mod p), potem velja
, oziroma = 1, če je p ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je p ≡ 3 (mod 4) , oziroma = 1, če je p ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je p ≡ 3 ali 5 (mod 8) Za liho praštevilo q velja
Zadnja lastnost je znana kot zakon kvadratne recipročnosti. Lastnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot dodatka h kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z Gaussovo lemo.
Legendrov simbol je povezan z Eulerjevim kriterijem. Euler je dokazal, da velja:
Legendrov simbol je tudi Dirichletov karakter.
Sorodne funkcije
Jacobijev simbol je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.
Druga posplošitev je Kroneckerjev simbol.
Kategorija:Modularna aritmetika Kategorija:Kvadratni ostanek Kategorija:Adrien-Marie Legendre