sličica|Podmnožice kompleksnih števil Števílo je matematični objekt, s katerim se opisuje množino. Poleg množice in funkcije je eden najpomembnejših matematičnih pojmov.
V vsakdanji rabi so najbolj znana naravna števila {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}, s katerimi štejemo. Skupnost vseh naravnih števil določa množico, ki se jo običajno označuje z N. Če se k tej množici pridruži še negativna števila in število 0, se dobi množico celih števil Z. Količniki celih števil so racionalna števila ali ulomki, katerih množico se označi s Q. Če se vključi še vse neskončne in neponavljajoče decimalne zapise števil, se dobimo realna števila R. Tista realna števila, ki niso racionalna, so iracionalna. Realna števila se lahko naprej razširijo še na kompleksna števila C, s katerimi se lahko reši vse algebrske enačbe. Vse rešitve algebrskih enačb, katerih koeficienti so kompleksna števila, so spet kompleksna števila. Vsaka omenjena množica je podmnožica naslednje:
Števila je treba od številk, ki so posebni znaki za predstavitev števil. Zapis števil kot niz števk obravnavajo številski sistemi.
Zgodovina
Številke
Števila je treba razlikovati od številk, simbolov, ki predstavljajo števila. Egipčani so izumili prvi šifrirani številski sistem, Grki pa so svoje številčenje preslikali na jonsko in dorsko abecedo. Rimske številke, sistem, ki je uporabljal kombinacije črk iz rimske abecede, so ostale prevladujoče v Evropi do razširitve indijsko-arabskega številskega sistema okoli poznega 14. stoletja. Indijsko-arabski številski sistem ostaja najpogosteje uporabljeni sistem za predstavitev številke v današnjem svetu. Ključ do učinkovitosti sistema je bil simbol za nič, ki so ga razvili starodavni indijski matematiki okoli leta 500 n.št.
Prva uporaba števil
Na kosteh in drugih artefaktih so odkrili izrezane oznake, za katere mnogi verjamejo, da naj pomenile neke vrste štetja.Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff. Ti številski znaki so bili morda uporabljeni za štetje pretečenega časa, na primer število dni, lunarnih ciklov ali vodenje evidenc o količinah, na primer živali.
Ti znaki ne poznajo pojma vrednosti pozicije (kot v sodobnem desetiškem zapisu), kar omejuje njegovo predstavitev velikih števil. Kljub temu takšni sistemi štetja veljajo za prvo vrsto abstraktnega številskega sistema.
Prvi znani sistem z vrednostjo pozicije je bil mezopotamski šestdesetiški sistem ( pr. n. št). Najstarejši znani desetiški sistem pa sega v leto 3100 pr. n. št v Egiptu.
Nič
Prva znana dokumentirana uporaba števila nič sega v 628 n.št. Pojavila se je v Brāhmasphuṭasiddhānti, glavnem delu indijskega matematika Brahmagupte. 0 je obravnaval kot število in opisal operacije, ki ničlo vključujejo, vključno z deljenjem. Do tedaj (7. stoletje) je koncept očitno dosegel Kambodžo kot kmerske številke, dokumentacija pa kaže, da se je zamisel kasneje razširila na Kitajsko in v islamski svet. sličica|Številka 605 s kmerskimi številkami iz napisa iz leta 683 našega štetja. Zgodnja uporaba ničle kot decimalne številke. Brahmaguptova Brāhmasphuṭasiddhānta je prva knjiga, ki omenja nič kot število, zato se ga običajno šteje za prvega, ki je oblikoval pojem nič. Podal je pravila uporabe ničle z negativnimi in pozitivnimi števili, na primer »nič plus pozitivno število je pozitivno število, negativno število plus nič pa negativno število.« Brāhmasphuṭasiddhānta je najstarejše znano besedilo, ki nič obravnava kot samostojno število.
Uporabo 0 kot števila je treba razlikovati od njegove uporabe pomožnega znaka v mestnem zapisu števil (vrednost vsake števke v številu je odvisna od mesta te števke v številu). Veliko starodavnih besedil je uporabljalo 0. Babilonci so 0 uporabljali le kot pomožni znak (3. stoletje), prav tako Maji (1. stoletje).
Pred Brahmagupto so ničlo uporabljali tudi drugi, toda dokumentacija ni tako popolna, kot je v Brāhmasphuṭasiddhānti.
Zapisi kažejo, da stari Grki niso bili prepričani o statusu 0 kot številu: spraševali so se »kako je lahko 'nič' nekaj?«. To je vodilo do zanimivih filozofskih in, do srednjeveškega obdobja, verskih argumentov o naravi in obstoju 0 in vakuumu. Paradoksi Zenona iz Eleje so deloma odvisni od nezanesljive interpretacije 0. (Stari Grki so se celo spraševali, če je 1 število.)
Izumrli Olmeki v južno-osrednji Mehiki so v Novem svetu začeli uporabljati simbol za ničlo (simbol školjke) verjetno v , vsekakor pa do leta 40. pr. n. št., ko je postal sestavni del majevskih števil in njihovega koledarja. Aritmetika Majev uporablja osnovo 4 in osnovo 5, majevski sistem je bil dvajsetiški ali vigezimalni; uporabljali so namreč dvajset števk (od 0 do 19), mestne vrednosti števil pa so bile potence števila 20, naraščajoče od spodaj navzgor, kajti Maji so običajno pisali v kolonah, od zgoraj navzdol in od leve proti desni. To jim je omogočalo zapisati zelo velika števila, kar je prišlo prav pri obvladovanju astronomije in koledarja. George I. Sánchez je leta 1961 poročal o osnovi 4 in 5.
Do leta 130 je Ptolomaj, pod vplivom Hiparha in Babiloncev, uporabljal simbol za 0 (majhen krog z nadpisano črto) v šesdesetiškem številskem sistemu, ki je sicer uporabljal abecedne grške številke. V poznejših bizantinskih rokopisih njegove Syntaxis Mathematica (Almagest) se je helenistična ničla prelevila v grško črko omikron (drugače ta črka pomeni 70).
Prava ničla je bila uporabljena tudi v tabelah skupaj z rimskimi številkami do leta 525 (prva znana uporaba Dionizija Exiguusa), vendar kot beseda, nulla pomeni nič, in ne kot le simbol. Ko pri deljenju pride do ostanka 0, so uporabili nihil, kar prav tako pomeni nič.
Negativna števila
Abstraktni koncept negativnih števil je bil na Kitajskem poznan že v letih 100–50 pr. n. št.
Racionalna števila
Verjetno je, da koncept delnih števil izvira iz prazgodovine. Stari Egipčani so za racionalna števila v matematičnih besedilih uporabljali svoj egipčanski ulomek, kot sta Rhindov matematični papirus in Kahunov papirus. Klasični grški in indijski matematiki so preučevali teorijo racionalnih števil v okviru študije teorije števil. Najbolj znan med njimi so Evklidovi Elementi, stari približno 300 let pr. n. št. Od indijskih besedil je najpomembnejša Sthananga Sutra, ki zajema tudi teorijo števil kot del splošne študije matematike.
Iracionalna števila
Najstarejša znana uporaba iracionalnih števil je bila v indijskih Sulba sultrah, napisanihmed 800 in 500 pr. n. št. Prvi dokazi o obstoju iracionalnih števil se običajno pripisujejo Pitagori, natančneje pitagorejcu Hipasu, ki je dokazal (najverjetneje geometrične) iracionalnost kvadratnega korena števila 2.
Osnovna razvrstitev
Števila se lahko razvrsti v množice, imenovane številski sistemi, kot so naravna in realna števila."Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm Glavne kategorije števil so:
+ Glavni številski sisteminaravno 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ali 1, 2, 3, 4, 5, ... Uporablja se lahko ali .celo..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...racionalno kjer sta a in b celi števili in b ni enak 0realnoMeja konvergentnega zaporedja racionalnih številkompleksnoa + bi kjer sta a in b realni števili, i je kvadratni koren od −1
Naravna števila
sličica|Naravna števila, začenši z 1
Najbolj običajna števila so naravna števila: 1, 2, 3 itd. Tradicionalno se je zaporedje naravnih števil začelo z 1 (0 pri starih Grkih sploh ni veljalo za število). Vendar pa so v 19. stoletju teoretiki množic in drugi matematik začeli vključevati 0 (kardinalnost prazne množice, tj. 0 elementov, kjer je 0 torej najmanjše kardinalno število) v množici naravnih števil. Sedaj matematiki uporabljajo ta izraz za opis obeh množic, z 0 ali brez. Matematični simbol za množico vseh naravnih števil je N, zapisan tudi z , včasih ali ko je treba navesti, ali naj se množica začne z 0 oziroma 1.
V desetiškem številskem sistemu, ki je sedaj skoraj univerzalen za matematične operacije, so simboli za naravna števila zapisani z desetimi števkami : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. Osnova je število unikatnih števk, vključno z ničlo, ki jih številski sistem uporablja za predstavitev števil (za desetiški sistem je osnova 10). V tej osnovi 10, ima skrajna desna števka naravnega števila mesto vrednosti 1, vsaka naslednja števka pa ima vrednost desetkrat večjo od mesta vrednosti števke na desni.
V teoriji množic, ki lahko deluje kot aksiomatski temelj sodobne matematike, se naravna števila lahko predstavijo z razredi enakovrednih množic. Na primer število 3 se lahko predstavi kot razred vseh množic, ki imajo natanko tri elemente. V Peanovi aritmetiki je število 3 predstavljeno kot sss0, kjer je s operacija »naslednik« (tj. 3 je tretji naslednik od 0).
Cela števila
Negativno število je opredeljeno kot število, ki se sešteje v 0, ko se mu prišteje nasprotno pozitivno število. Negativna števila so običajno napisana z negativnim predznakom (znak minus). Npr. negativno od 7 je napisano −7 in . Ko je množica negativnih števil kombinirana z množico naravnih števil (vključno z 0), je rezultat definiran kot množica celih števil, Z zapisano tudi kot . Črka Z prihaja iz nemške Zahl 'številka'. Množica celih števil tvori kolobar z operacijami seštevanja in množenja.
Naravna števila tvorijo podmnožico celih števil. Ker ne obstaja skupni standard za vključitev ali nevključitev ničle med naravna števila, se naravna števila brez ničle običajno imenujejo pozitivna cela števila, naravna števila z ničlo pa nenegativna cela števila.
Racionalna števila
sličica|Racionalna števila (ℚ) so vključena v realna števila (ℝ), sama pa vključujejo cela števila (ℤ), ki posledično vključujejo tudi naravna števila (ℕ)
Racionalno število je število, ki se ga lahko izrazi kot ulomek s celoštevilskim števcem in pozitivnim celoštevilskim imenovalcem. Negativni imenovalci so dovoljeni, vendar se jih običajno izogiba. Ulomki so zapisani kot dve celi števili, števec in imenovalec, z ločilno črto med njima. Ulomek se zapiše v obliki količnika (kvocienta): m določa število delov celote, n pove na koliko delov je razdeljena celota. Dva različna ulomka lahko ustrezata istemu racionalnemu številu; na primer sta enaka, tako da je:
Na splošno,
le tedaj, ko je
Če je absolutna vrednost m večja od n (ta naj bi bila pozitivna), je absolutna vrednost ulomka večja od 1. Ulomki so lahko večji, manjši ali enaki 1 in so lahko pozitivni, negativni ali 0. Množica vseh racionalnih števil vključuje cela števila, saj je vsako celo število lahko zapisano kot ulomek z imenovanikom 1. Na primer −7 se lahko zapiše . Simbol za racionalna števila je Q (quotient), zapisano tudi kot .
Realna števila
desno|sličica|Realna števila se lahko razumejo kot točke na neskončno dolgi številski premici
Simbol za realna števila je R, zapisan tudi kot . Množica realnih števil je množica vseh neskončnih decimalnih števil. Vsako realno število ustreza točki na številski premici. Naslednji odstavek se bo osredotočal predvsem na pozitivna realna števila. Obravnava negativnih realnih števil je glede na splošna aritmetična pravila preprosto predpona ustrezne pozitivne številke z znakom minus, npr. −123.456.