Engelov razvoj () pozitivnega realnega števila x je enolično nepadajoče zaporedje pozitivnih celih števil , da velja:
Racionalna števila imajo končni Engelov razvoj, iracionalna pa neskončnega. Če je x racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev x kot egipčanski ulomek. Engelovi razvoji se imenujejo po Friedrichu Engelu, ki jih je raziskoval leta 1913..
Engelovi razvoji, verižni ulomki in Fibonacci
Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico verižnega ulomka:.
Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že Leonardo Fibonacci v delu Knjiga o abaku (Liber Abaci) leta 1202. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa ulomkov, kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:
Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.
Algoritem za računanje Engelovih razvojev
Za iskanje Engelovega razvoja x naj je:
in:
kjer je zgornji celi del (najmanjše celo število večje ali enako od r).
Če je za kakšen i, se algoritem ustavi.
Zgled
Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:
Zaporedje se tu konča. Tako je:
in Engelov razvoj števila je .
Engelovi razvoji racionalnih števil
Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj ui racionalno število x/y, potem je ui+1 = (−y mod x)/y. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka ui poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:
se lahko končna števka n v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (n + 1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:
To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej 0,999...).
Engelovi razvoji nekaterih znanih števil
simbol Engelov razvoj OEIS ime π V splošnem: e Hinčinova konstanta kvadratni koren iz 3 ζ(2) število zlatega reza kvadratni koren iz 2 ζ(3) (Apéryjeva konstanta) 1 Catalanova konstanta Euler-Mascheronijeva konstanta
V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi geometrično zaporedje.
Glej tudi
Pierceov razvoj
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Engelovi razvoji
Kategorija:Matematična analiza Kategorija:Verižni ulomki Kategorija:Egipčanski ulomki Kategorija:1913 v znanosti