Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera Opis projektivne ravnine na MathWorld. Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.
Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako (tudi ) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s .
Naj bo kolobar z deljenjem in naj označuje množico vseh mogočih trojk elementov iz . Za vsak neničelen v in premico v skozi izhodišče in podmnožica
spada v .
Projektivno ravnino nad označujemo s . To je množica vseh premic v skozi izhodišče. Podmnožica , ki pripada , je premica v , če obstoja ravnina v , v kateri je množica premic natančno .
Zgledi Realno projektivno ravnino dobimo, če zavzame samo realne vrednosti. Kot zaprta neorientabilna realna 2-razsežna mnogoterost služi kot osnovni primer v topologiji. Kompleksno projektivno ravnino dobimo, če zavzame kompleksne vrednosti. To je zaprta kompleksna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost in torej tudi zaprta orientabilna realna štiri razsežna mnogoterost. Kvaternionska projektivna ravnina z oznako je razširitev realnega projektivnega prostora in kompleksnega projektivnega prostora na področje kjer koordinate ležijo v kolobarju kvaternionov. Oktonioni ne tvorijo kolobarja z deljenjem zato zgornja definicija ni primerna. Običajno velja Cayleyjeva ravnina za projektivno ravnino nad oktonioni.
Opombe in sklici
Glej tudi incidenčna struktura projektivna geometrija
Zunanje povezave
Projektivna ravnina Opis in lasnosti projektivne ravnine Projektivni prostor na PlanetMath
Kategorija:Projektivna geometrija Kategorija:Evklidska ravninska geometrija