Gaussov gravitacíjski zákon [gáusov ~] je v fiziki zakon, ki je v splošnem enakovreden splošnemu gravitacijskemu zakonu Isaaca Newtona. Matematično je njegova oblika podobna zakonu o električnem pretoku Carla Friedricha Gaussa v elektrostatiki (eni od Maxwellovih enačb) in porazdelitvi električnega naboja. Gaussov gravitacijski zakon je matematično gledano proti splošnemu gravitacijskemu zakonu enako kot zakon o električnem pretoku proti Coulombovem zakonu. To je zato, ker splošni gravitacijski zakon in Coulombov zakon opisujeta interakcijo obratnih kvadratov v trirazsežnem prostoru.

Zakon je izražen s pomočjo pojma gravitacijskega polja. Pravi, da je pretok (ploskovni integral) gravitacijskega polja skozi poljubno zaprto ploskev sorazmeren z zaobjeto maso. Ima dve obliki, diferencialno in integralsko, ki sta zaradi izreka Gaussa in Ostrogradskega (izreka o divergenci) enakovredni.

Čeprav je Gaussov gravitacijski zakon fizikalno enakovreden splošnemu gravitacijskemu zakonu, v mnogih primerih daje prikladnejši in preprostejši način za računanje kot splošni gravitacijski zakon.

Definicija gravitacijskega polja in kvalitativna formulacija zakona

Gravitacijsko polje (ali težni pospešek) je vektorsko polje vektor v vsaki točki prostora (in časa). Določen je tako, da je gravitacijska sila, ki deluje na točkasto telo, enaka:

kjer sta: masa točkastega telesa, krajevni vektor (lega) točkastega telesa.

Gravitacijski pretok je ploskovni integral gravitacijskega polja skozi zaprto ploskev, podobno kot je magnetni pretok ploskovni integral magnetnega polja.

Gaussov gravitacijski zakon pravi:

Gravitacijski pretok skozi poljubno zaprto ploskev je sorazmeren z zaobjeto maso.

Integralska oblika zakona

Integralska oblika Gaussovega gravitacijskega zakona je:

kjer je: (zapisano tudi kot ) ploskovni integral skozi zaprto ploskev, poljubna zaprta ploskev (meja poljubne prostornine ), vektor, katerega velikost je površina infinitezimalnega dela ploskve , in njegova smer kaže navzven pravokotno na ploskev (za več podrobnosti glej ploskovni integral), gravitacijsko polje, gravitacijska konstanta, skupna masa znotraj ploskve .

Leva stran enačbe se imenuje pretok gravitacijskega polja. Je vedno negativen (ali enak 0), nikoli pa pozitiven. V zakonu o električnem pretoku je pretok lahko pozitiven ali negativen. Razlika je v tem, ker je lahko električni naboj pozitiven ali negativen, masa pa je lahko le pozitivna.

Diferencialna oblika zakona

Diferencialna oblika Gaussovega gravitacijskega zakona je:

kjer je: divergenca vektorskega polja, gravitacijsko polje, gravitacijska konstanta, masna gostota v vsaki točki,

Povezava z integralsko obliko

Obe obliki Gaussovega gravitacijskega zakona sta matematično enakovredni. Po izreku Gaussa in Ostrogradskega je:

kjer je: zaprto območje, ki ga omejuje enostavna zaprta usmerjena ploskev , gravitacijsko polje, ki mora biti zvezno odvedljivo vektorsko polje, definirano v okolici , infinitezimalni del prostornine (za več podrobnosti glej prostorninski integral).

Če velja tudi:

se lahko rabi izrek Gaussa in Ostrogradskega na integralsko obliko Gaussovega gravitacijskega zakona, kar da:

in še naprej:

To mora veljati hkrati za vsako možno prostornino ; kar pa velja, če sta integranda enaka. Tako se pride do:

kar je diferencialna oblika Gaussovega gravitacijskega zakona. Tudi integralsko obliko se lahko z obratno metodo dobi iz diferencailne oblike.

Čeprav sta obe obliki enakovredni, je ena ali druga v določenih računih primernejša od druge.

Povezava s splošnim gravitacijskim zakonom

Izpeljava Gaussovega gravitacijskega zakona iz splošnega

Gaussov gravitacijski zakon se lahko izpelje iz splošnega gravitacijskega zakona, po katerem je gravitacijsko polje zaradi točkaste mase:

kjer je: radialni enotski vektor, polmer, , masa, privzeta za točkasti delec, zbrana v koordinatnem izhodišču.

Posebni pimer: krogelna ploskev s središčem v točkastem telesu

Naj ima krogelna ploskev polmer s središčem v točkastem telesu z maso . Skupni pretok gravitacijskega polja skozi zaprto ploskev je po splošnem gravitacijskem zakonu dan z:

Velikost infinitezimalnega dela površine je enaka površini infinitezimalnega prostorskega kota dana z:

kar da:

Ker je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj , in, ker je integral enote skozi zaprto ploskev glede na prostorski kot površina ploskve enotske krogle , velja:

kar je integralska oblika Gaussovega graviacijskega zakona za ta posebni primer.

Splošni primer: Silnice (vizualni dokaz)

V splošnem primeru se lahko pomaga s silnicami. Gravitacijsko polje se lahko predstavlja prek silnic, množico daljic ali krivulj, ki sledijo smeri gravitacijskega polja. Jakost polja mora biti sorazmerna z gostoto silnic. Lahko se pokaže še več, da je pretok polja skozi ploskev sorazmeren z mrežnim številom silnic, ki potekajo skozi ploskev. Izraz »mreža« se nanaša tako na število silnic, ki gredo navzven, kot tudi navznoter.

Po splošnem gravitacijskem zakonu se bodo silnice širile neposredno, radialno navznoter proti središču točkastega telesa v vsaki smeri. Posebni primer zgoraj pokaže, da če se zamisli niz koncentričnih krogel s središči v središču točkastega telesa, bo skozi vsako od njih potekalo enako število silnic. Silnice se začnejo v neskončnosti in enakomerno iz vseh smeri potekajo navznoter proti središču točkastega telesa, kjer se zaključijo.

Za poljubno sklenjeno ploskev (ne nujno krogelno), ki objema točkasto telo, se bo vsaka silnica začela v neskončnosti zunaj ploskve, potekala skozi ploskev v neki točki in se končala v središču točkastega telesa znotraj ploskve. Pretok skozi ploskev je zato konstanta , ne glede na to kakšna je oblika ploskve, vse dokler je točkasto telo znotraj.

Podobno bo za vsako končno sklenjeno ploskev, ki ne objema točasto telo v celoti, nekaj silnic potekalo v in nato nazaj ven iz ploskve, nekatere silnici pa se ploskve sploh ne bodo dotaknile. Kakorkoli je mrežni pretok skozi ploskev enak 0.

V vsakem primeru je to v soglasju z Gaussovim zakonom. Za celotni dokaz je treba obravnavati primer, v katerem obstaja več točastih teles, ali celo neskončno mnogo mas, ki so zvezno porazdeljene. To se lahko naredi na najpreprostejši način tako da se privzame da za splošni in Gaussov gravitacijski zakon velja načelo superpozicije, in, če je Gaussov zakon posledica splošnega gravitacijskega zakona za eno maso, je tudi posledica splošnega gravitacijskega zakona za poljubno število mas. Lahko se reče tudi, da je mrežno število silnic, ki vstopajo v ploskev, enako številu silnic, ki se končujejo na masi zunaj ploskve, kar je sorazmerno s celotno maso zunaj ploskve.

Splošni primer: Matematični dokaz

Izpeljava splošnega gravitacijskega zakona iz Gaussovega in brezvrtinčnost

Nemogoče je matematično dokazati splošni gravitacijski zakon le iz Gaussovega zakona, ker Gaussov zakon določa divergenco , vendar ne vsebuje podatkov o rotorju (glej Helmholtzev izrek). Poleg Gaussovega zakona se rabi predpostavka, da je brezvrtinčno (ima ničelni rotor), saj je gravitacija konservativna sila:

Tudi ti niso dovolj: za dokaz splošnega gravitacijskega zakona so potrebni tudi robni pogoji na , kot je predpostavka, da je polje enako nič neskončno daleč od mase.

Dokaz splošnega gravitacijskega zakona iz teh predpostavk je naslednji:

Gravitacijski potencial in Poissonova enačba

Ker je rotor gravitacijskega polja enak 0, oziroma enakovredno, ker je gravitacija konservativna sila, kot je omenjeno zgoraj, se jo lahko zapiše kot gradient skalarnega potenciala, ki se imenuje gravitacijski potencial :

Potem diferencialna oblika Gaussovega gravitacijskega polja postane Poissonova enačba:

To zagotavlja drugi način računanja gravitacijskega potenciala in gravitacijskega polja. Čeprav je računanje prek Poissonove enačbe matematično enakovredno z računanjem neposredno iz Gaussovega gravitacijskega zakona, je v določenih primerih en način boljši od drugega.

V radialnosimetričnih sistemih je gravitacijski potencial funkcija le ene spremenljivke, namreč , in Poissonova enačba postane (glej operator nabla v različnih koordinatnih sistemih):

gravitacijsko polje pa je:

Pri reševanju enačbe je treba upoštevati, da mora biti v primeru končnih gostot zvezen na mejah (prekinitve gostote) in nič za .

Rabe

Z Guassovim gravitacijskim zakonom se lahko v nekaterih primerih preprosto izračuna gravitacijsko polje, in kadar je računanje s splošnim gravitacijskim zakonom težje, ne pa tudi nujno nemogoče. V članku o Gaussovi ploskvi je več podrobnosti.

Bouguerova plošča

S pomočjo pojma Gaussove ploskve se lahko zaključi, da je za neskončno, ravno ploščo (Bouguerovo ploščo) poljubne končne debeline gravitacijsko polje zunaj plošče pravokotno na ploščo proti njej z jakostjo krat masa na enoto površine, in je neodvisno od razdalje do plošče (glej tudi gravitacijske anomalije).

V splošnejšem primeru za masno porazdelitev z gostoto, ki je odvisna le od kartezične koordinate , je gravitacija za poljubni enaka krat razlika v masi na enoto površine na obeh straneh te vrednosti .

V posebnem primeru kombinacija dveh vzporednih neskončnih plošč enake mase na enoto površine znotraj ne da nobenega gravitacijskega polja med njima.

Valjnosimetrična masna porazdelitev

V primeru neskončne valjnosimetrične masne porazdelitve (v smeri ) se lahko s pomočjo valjne Gaussove ploskve zaključi, da je jakost gravitacijskega polja na razdalji od središča usmerjena navznoter in ima jakost krat skupna masa na enoto dolžine pri manjši razdalji od osi, ne glede na mase na večjih razdaljah.

Znotraj neskončnega votlega valja je na primer gavitacijsko polje enako 0.

Krogelnosimetrična masna porazdelitev

V primeru krogelnosimetrične masne porazdelitve se lahko s pomočjo krogelne Gaussove ploskve zaključi, da je jakost gravitacijskega polja na razdalji od središča usmerjena nvznoter in ima jakost krat le celotna masa znotraj območja, manjšega od . Vso maso, ki je dlje kot od središča, se lahko zanemari.

Znotraj votle krogle je na primer gravitacijsko polje enako 0. Gravitacijsko polje znotraj je enako, kot če votla krogla ne bi obstajala, rezultirajoče polje je odvisno le od mas znotraj ali zunaj krogle.

Čeprav to sledi iz ene ali dveh vrstic algebre iz Gaussovega gravitacijskega zakona, je moral Newton porabiti več strani okornega računa, da je lahko to izpeljal neposredno iz svojega gravitacijskega zakona. Glej članek o izreku o lupini za to neposredno izpeljavo.

Izpeljava iz Lagrangeeve funkcije

Lagrangeeva gostota za Newtonovo gravitacijo je:

Če se zanjo rabi Hamiltonovo načelo, sledi Gaussov gravitacijski zakon:

kjer je:

Laplaceov operator.

Glej Lagrangeeva funkcija (teorija polja) za podrobnosti.

Glej tudi

Carl Friedrich Gauss izrek Gaussa in Ostrogradskega zakon o električnem pretoku

teorija potenciala integral

Opombe

Sklici

Viri

,

Nadaljnje branje

Zunanje povezave

Kategorija:Fizikalni zakoni Kategorija:Gravitacija Kategorija:Teorije gravitacije Kategorija:Vektorski račun Kategorija:Carl Friedrich Gauss