Grandijeva vŕsta [grándijeva ~] se v matematiki včasih imenuje neskončna vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + ···, oziroma zapisana z znakom za vsoto:
Vrsta se imenuje po italijanskem rimskokatoliškem duhovniku, filozofu, matematiku in inženirju Luigiju Guidu Grandiju, ki je leta 1703 podal o njej pomembno razpravo v knjigi Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.
Delne vsote Grandijeve vrste so izmenično enake in vrsta je divergentna, kar pomeni da nima vsote v običajnem smislu. Njena Cesàrova vsota je na drugi strani enaka 1/2. Poleg tega je vrsta posebej divergentna geometrična vrsta s prvim členom a, enakim 1, in s skupnim količnikom k, enakim -1.
Osnovne hevristične značilnosti
Vrsto se lahko obravnava kot teleskopsko vrsto in se paroma odšteva njene člene:
Z malo drugačnim združevanjem sosednjih členov se dobi navidezno nasprotujoči si rezultat:
Z uporabo oklepajev v Grandijevi vrsti na dva načina se lahko dobi dve njeni »vrednosti«, 0 ali 1. Ta način, ki se imenuje Eilenberg-Mazurjeva prevara, se včasih rabi v teoriji vozlov in algebri.
Če se obravnava Grandijevo vrsto kot divergentno geometrično vrsto, se lahko z enakimi algebrskimi metodami za konvergentne geometrične vrste dobi tretjo vrednost vsote:
tako, da je:
kar da:
Isti rezultat se dobi, če se računa vsoto −s, rezultat se odšteje od s in razreši 2s = 1..
Ta hevristična razmišljanja ne upoštevajo dejanski pomen vsote. Čeprav je do neke mere pomembno, da se lahko poljubno združuje in, kar je še pomembneje, računa sosednje člene, se lahko pride do dveh zaključkov: Vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + ··· nima vsote.. ... njena vsota mora biti enaka 1/2.
Obe izjavi se lahko še točneje opredeli in formalno dokaže, vendar le z dobro definiranimi matematičnimi pojmi, ki so se razvili v 19. stoletju. V razdobju od poznega 17. stoletja, ko se je v Evropi razvil infinitezimalni račun, do začetka sodobnega strogega matematičnega aparata se matematiki niso mogli zediniti o teh vprašanjih...
Grandijeva vrsta je sorodna vrsti 1 − 2 + 3 − 4 + ···. Euler ju je obravnaval kot posebna primera vrste za poljuben n.
Zgodovina
Geometrija in neskončne ničle Grandi
Grandi je uvidel, da se lahko sosednje člene združuje na dva načina, in se tako dobi dve vsoti, 0 ali 1. Kakor drugi matematiki za njim pa je menil, da je resnična vrednost vrste enaka 1/2 zaradi več razlogov.
thumb|right|250px|Točka (1, 1/2) na Agnesinem kodru in enotska krožnica s premerom 1 Do rezultata je prišel s pomočjo geometrijskega raziskovanja ravninske krivulje Agnesin koder. Matematiki 18. stoletja so takoj prevedli in povzeli njegov argument z analitičnimi izrazi: za rodovno krožnico s premerom a, ima enačba kodra:
razvoj v vrsto:
Če se postavi a = x = 1, je 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = 1/2.Po Giovanniju Ferraru , ki navaja doktorsko disertacijo Marca Panze s podrobno analizo Grandijevega dela.
Po Morrisu Kleineu je Grandi začel z binomskim izrekom:
in vstavil x = 1, tako da je dobil . Ker je vsota 0 ali 1/2, je menil, da je s tem dokazal, kako lahko svet nastane iz niča..
Grandi je podal novo razlago, da je , leta 1710 tako v drugi izdaji Quadratura circula in v novem delu De Infinitis infinitorum, et infinite parvorum ordinibus disquisitio geometrica. ima primer na str. 30 Grandijevega dela Quadratura circula … editio altera iz leta 1710.. S tem je povezana zgodba o dveh bratih, ki sta od svojega očeta podedovala neprecenljiv dragulj. V oporoki je oče prepovedal, da dragulj prodata, zaradi česar sta se dogovoril, da ga bosta hranila vsako leto izmenično. Če bi ta dogovor veljal večno, bi vsaka od družin bratov posedovala dragulj polovico časa, četudi bi si ga izmenjali neskončno mnogokrat. Ta razmislek je kasneje kritiziral Leibniz.Leibniz (Gerhardt), str. 385-386, .
Marchetti
Po objavi druge izdaje Grandijeve knjige Quadratura je med prvimi kritiziral njegovo delo Alessandro Marchetti. Morda ga je pri tem bolj vodila ljubosumnost kot pa drugi razlogi.Montucla, str. 8-9. Marchetti je menil, da je izjava, da lahko da vsota neskončnega števila ničel končno količino, absurdna. Iz Grandijeve obravnave je pokazal na nevarnost, ki jo sproži teološko sklepanje. Matematika sta se začela medsebojno obtoževati v nizu odprtih pisem. Njun spor se je končal šele z Marchettijevo smrtjo leta 1714.
Leibniz
S pomočjo in spodbudo Antonia Magliabechija je Grandi poslal kopijo Quadrature iz leta 1703 Leibnizu. Priložil je tudi pismo, v katerem je izrazil pohvale in občudovanje do mojstrovega dela. Leibniz je prejel in prebral to prvo izdajo leta 1705. Delo je imenoval neizvirno in manj napredni »poskus« svojega računa., ki navajata: Grandi Magliabechiju, Pisa 17.7.1703 BU Pisa MS 99, f. 219; Magliabechi Grandiju, Firence 31.7.1703, BU Pisa MS 93, f. 110; Grandi Leibnizu, Pisa 28.6.1703, GM 4, str. 209; Leibniz Magliabechiju, Hanover 12.8.1704; Leibniz Magliabechiju, Hanover 2.7.1705, Paoli 1899, str. XC; Leibniz Grandiju, Hanover 11.7.1705, GM 4, str. 210-212; Leibniz Hermannu, Hanover 21.5.1706, GM 4, str. 297 Grandijeva obravnava vrste 1 − 1 + 1 − 1 + ··· ni vzbudila Leibnizeve pozornosti do leta 1711, skoraj ob koncu njegovega življenja, ko mu je Christian von Wolff poslal pismo v Marchettijevo korist, v katerem je opisal problem in ga prosil za mnenje.; von Wolff Leibnizu, 16. april 1711, v .
Ozadje
Leibniz je okoli leta 1674 v manj znanem delu De Triangulo Harmonico o harmoničnem trikotniku na hitro omenil vrsto v primeru:
.
Vrsta se je pojavila posredno tudi v razpravi z von Tschirnhausom leta 1676..
Leibniz je do leta 1673 že proučil divergentno alternirajočo vrsto . V tem primeru je pokazal, da lahko z odševanjem na levi ali na desni strani dobimo pozitivno ali negativno neskončnost, tako da sta oba odgovora napačna, in rezultat mora biti končen. Dve leti kasneje je razdelal prvi konvergenčni kriterij v zgodovini matematike, kriterij za alternirajoče vrste. V njem je implicitno uporabil sodobno definicijo konvergence.; .
Rešitve
thumb|right|200px|Začetek objavljenega Leibnizevega pisma von Wolffu Leibniz je v 1710-ih opisal Grandijevo vrsto med dopisovanjem z več drugimi matematiki.Njegova dokončna rešitev se je na primer ponovila leta 1716 v pismu Pierru Dangicourtu; glej . Pismo z največjim trajnim vplivom je bil njegov prvi odgovor von Wolffu, ki ga je objavil v znanstveni reviji Acta Eruditorum. V tem pismu je Leibniz napadel problem z več zornih kotov.
V splošnem je verjel da so algoritmi infinitezimalnega računa »slepo sklepanje« in jih je v končni meri treba utemeljiti na temelju geometrijskih podajanj. Zaradi tega je soglašal z Grandijem, da velja in trdil, da je zveza dobro podkrepljena, ker zanjo obstaja geometrijski prikaz..
Na drugi strani je ostro kritiziral Grandijev primer podedovanega dragulja in trdil, da vrsta nima povezave z zgodbo. Opozoril je na to, da imata za vsako končno, sodo število let, brata dragulj enak čas v lasti, vsota odgovarjajočih členov vrste pa je vseeno enaka nič.
Leibniz je menil, da je razmislek iz pravilen. Vzel ga je za zgled svojega zakona o zveznosti. Ker zveza velja za vse x manjše od 1, mora veljati tudi za x enake 1. Vendar je Leibniz mislil, da lahko poiščemo vsoto vrste neposredno, ne da bi se sklicevali na izraz , od koder izhaja. Ta pristop je razviden po sodobnih standardih, vendar je pomemben korak v zgodovini iskanja vsot divergentnih vrst.Kot je navedel . V 18. stoletju so v raziskovanju vrst prevladovale potenčne vrste. Tedaj so menili, da je seštevanje številskih vrst, če jih izrazimo kot f(1) kakšne funkcijske potenčne vrste, najbolj naravna strategija..
Leibniz je opazil, da, če se iz vrste vzame sodo število členov, je zadnji člen enak −1 in vsota enaka 0:
Če se vzame liho število členov, je zadnji člen enak +1, vsota pa 1:
Ker neskončna vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + ··· nima niti sodo niti liho število členov, njena vsota ni 0 ali 1, in, če se računa njeno vsoto v neskončnem, je njena vrednost nekaj med obema možnostima. Ni drugega vzroka, da bi bila vrednost vsote vrste takšna ali drugačna, zato teorija »verjetnosti« in »zakon pravice« narekujeta, da je treba vzeti aritmetično sredino med 0 in 1, ki je Leibniz (Gerhardt), str. 386-387; , prevod iz latinščine v francoščino.
Eli Maor je o tej rešitvi zapisal: »Takšno predrzno, nepremišljeno sklepanje se nam danes zdi nezaslišano…«. Kline je opisal Leibniza kot bolj vestnega: »Leibniz je dopuščal, da je njegov argument bolj metafizičen kot pa matematičen, vendar je dejal, da je v matematiki več metafizične resnice kot je splošno prepoznano«..
Charles Moore je razmišljal, da bi imel Leibniz težko takšno zaupanje v svojo metafizično strategijo, če ne bi dala enakega rezultata, (namreč 1/2), kot drugi pristopi.. Matematično gledano, to ni bila težava - Leibnizeva obravnava je bila deloma upravičena, ko so leta 1880 končno dokazali združljivost tehnik povprečenj s potenčnimi vrstami..
Reakcije
Ko je von Wolff Leibnizu prvič postavil vprašnje o Grandijevi vrsti, je bil nagnjen k skepticizmu skupaj z Marchettijem. Ko je v sredini leta 1712 prebral Leibnizev odgovor, je bil tako zadovoljen z rešitvijo, da je poskušal razširiti metodo z aritmetično sredino na druge divergentne vrste, kot je na primer vrsta .Von Wolffov prvi sklic na pismo objavljeno v Acta Eruditorum se je pojavil v pismu napisanem iz Halleja, datiranem 12. junija 1712; . Leibnizeva intuicija je pomagala, da ni te rešitve razvil naprej tako daleč, in je odpisal, da je bila von Wolffova zamisel sicer zanimiva, vendar napačna zaradi več razlogov. Eden od njih je bil, da morajo členi v vrsti z vsoto, preiti v 0, četudi se lahko vrsto izrazi kot limito takšne vrste.; Leibnizevo pismo je v , datirano 13. julija 1712 iz Hanovra.
Leibniz je opisal Grandijevo vrsto skupaj s splošnim problemom konvergence in divergence v pismih Nicholasu Bernoulliju leta 1712 in zgodaj leta 1713. Jacques Dutka je predlagal, da je to dopisovanje skupaj z Nicholasovim zanimanjem za verjetnost, vzpodbudilo Nicholasa, da je septembra 1713 podal sanktpeterburški paradoks, v katerem tudi nastopajo divergentne vrste..
Pierre-Simon Laplace je v svojem delu Essai Philosophique sur les Probabilités povezal Grandijevo vrsto z Leibnizevim videnjem »slike Stvarjenja v svoji dvojiški aritmetiki«, tako da je Leibniz pisal jezuitskemu misijonarju Claudiu Filippu Grimaldiju, dvornemu matematiku cesarja Kansija na Kitajskem, v upanju, da se bosta cesarjevo zanimanje za znanost in matematični »znak stvarjenja« povezala in pomagala spreobrniti narod v krščanstvo. Laplace je pripomnil: »To anegdoto zapisujem le zaradi tega, da pokažem kako daleč lahko predsodki o mladoletnosti speljejo velike može.«, ki navajata Laplacea, str. 194, 195.
Divergenca Jakob Bernoulli thumb|right|200px|Začetek tretjega dela Bernoullijeve knjige Positiones, ponatisnjene leta 1744
Jakob Bernoulli se je leta 1696 v tretjem delu svoje knjige Positiones arithmeticae de seriebus infinitis ukvarjal s podobno vrsto. S pomočjo Mercatorjeve metode za polinomsko dolgo delitev z razmerjem je opazil, da ima ena vedno ostanek.. Če je , se ta ostanek zmanjšuje, in »je na zadnje manjši od poljubno dane količine«, tako da velja:
Če je m = n, je enačba enaka:
Bernoulli jo je imenoval »neneokusen paradoks.«, je naredil navedek »unde paradoxum fluit non inelegans«, in navajal Ebenda II, 751.
Varignon thumb|left|200px|Varignonovo delo Précautions iz leta 1715
Pierre Varignon je obravnaval Grandijevo vrsto v svojem poročilu Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes…. Eden od ciljev tega članka je bil pokazati na divergenco Grandijeve vrste in razširiti razpravo Jakoba Bernoullija iz leta 1696.