Catalanova konstánta [katalánova ~] (oznaki G ali ) je v matematiki konstanta, ki se včasih pojavi pri ocenah v kombinatoriki. Določena je kot vsota alternirajoče vrste:
kjer je β Dirichletova funkcija β. Njena številska desetiška vrednost je približno :
Ni znano ali je G racionalno ali iracionalno število. Imenuje se po Eugèneu Charlesu Catalanu.
Integralski izrazi
Konstanto lahko zapišemo z določenimi integrali:
.
in na primer z:
kjer je K(x) popolni eliptični integral 1. vrste, ter z:
Uporaba
G se pojavlja v kombinatoriki, v vrednostih druge funkcije poligama, imenovane tudi funkcija trigama, pri argumentih z ulomki:
Simon Plouffe je podal neskončno zbirko izrazov med funkcijo trigama, in Catalanovo konstanto. Lahko se jih izrazi kot poti v grafu.
Konstanta se pojavlja tudi v povezavi s hiperbolično sekantno porazdelitvijo.
Hitro konvergentne vrste
Naslednji formuli predstavljata hitro konvergentni vrsti, in sta primerni za računanje vrednosti konstante:
in:
Teoretične osnove za takšne vrste je dal Broadhurst..
Znane števke
Število znanih števk Catalanove konstante G se je v zadnjih desetletjih zelo povečalo. Vzrok temu je povečanje zmogljivosti računalnikov kot tudi izboljšave algoritmov.Gourdon, Sebah.
+ Število znanih desetiških števk Catalanove konstante G datum desetiške števke avtor 1832 16 Thomas Clausen 1858 19 Carl Johan Danielsson Hill 1864 14 Eugène Charles Catalan 1877 20 James W. L. Glaisher 1913 32 James W. L. Glaisher 1990 20.000 Greg J. Fee 1996 50.000 Greg J. Fee 14. avgust 1996 100.000 Greg J. Fee & Simon Plouffe 29. september 1996 300.000 Thomas Papanikolaou 1996 1.500.000 Thomas Papanikolaou 1997 3.379.957 Patrick Demichel 4. januar 1998 12.500.000 Xavier Gourdon 2001 100.000.500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 201.000.000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah oktober 2006 5.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo avgust 2008 10.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve PagliaruloConstants and Records of Computation 31. januar 2009 15.510.000.000 Alexander J. Yee & Raymond ChanLarge Computations 16. april 2009 31.026.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan 6. april 2013 100.000.000.000 Robert J. Setti
Glej tudi
konstanta zeta
Opombe in sklici
Viri
(Navedeno je prvih 300.000 števk Catalanove konstante.)
(Navedeno je več kot sto različnih izrazov.) (Prikazane so grafične predstavitve izrazov.)
Catalan constant: Generalized power series na Wolfram Functions Site
Kategorija:Kombinatorika Kategorija:Matematične konstante