thumb|right|325px|Graf Dirichletove funkcije beta na intervalu [−8, 8]
Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.
Definicija
Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:.
ali enakovredno kot:
kjer je funkcija Γ. V obeh primerih je .
S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:
na celi kompleksni -ravnini.
Z Lerchevim transcendentom je določena kot:
ki spet velja za vse kompleksne vrednosti .
Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:
Funkcijska enačba
Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine . Dana je z:
Značilnosti
Posebne vrednosti
Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:
,
Catalanova konstanta, ,
,
,
,
,
kjer je zgoraj zgled funkcije poligama.
Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe , racionalni mnogokratnik , torej za poljubno pozitivno celo število :
kjer so Eulerjeva števila. Za celo število velja:
oziroma:
Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:
Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: , , , , , ali iracionalno..
Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:.
Odvajanje
Odvod za vse je dan z:
Nekatere posebne vrednosti odvodov:
, , .
Za pozitivna cela števila velja še naprej:
Glej tudi
Hurwitzeva funkcija zeta
Sklici
Viri
Glej razdelek §23.2
Zunanje povezaave
Kategorija:Specialne funkcije Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije