Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.
Definicija
Z označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev
je ortogonalna, če in samo, če velja
kjer je Kroneckerjeva delta notranji produkt v prostoru .
Značilnosti
če je skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja
vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je linearno neodvisna
Zgledi Dvorazsežni kartezični koordinatni sistem
Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta in . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja: skalarni produkt je enak 0 ali norma vektorja je enaka 1 ali norma vektorja je enaka 1 ali . To lahko zapišemo kot
. Kar pomeni, da je . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Metoda ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov proces. Običajno se to izvaja v evklidskem prostoru z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.
Standardna baza
Standardna baza v koordinatnem prostoru je kjer je
. .
Katerakoli dva vektorja in , ki imata sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.
Zunanje povezave
Ortogonalnost Ortonormalnost na WordiQ Ortogonalne in ortonormalne baze
Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Funkcionalna analiza