Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo.Leavitt (1967). Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju.Midy (1836). Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja in:
števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:
Ta lastnost se imenuje tudi Midyjeva lastnost ali lastnost devetic.García-Pulgarín, Giraldo (2009). Vodilne ničle se v nizih zanemarja.
Na primer:
Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so :
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...
Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila
Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z .Lewittes (2007). Na primer:
Na primer imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo lastnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:
Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:
14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...
ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:
21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...
Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako :
7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...
Razširjeni Midyjev izrek
Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku .Abdul-Baki (2005). Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka .
Na primer:
Če se razdeli niz periode na dele z 2 ali 1 števko, se dobi:
Če se razdeli niz periode (dolžina periode je 17 - 1 = 16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, se dobi:
kjer je dolžina periode enaka 19 - 1 = 18. Če se razdeli niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, se dobi:
Midyjev izrek za druge osnove
Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih lastnisti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer 10k − 1 nadomesti bk − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:
Dokaz Midyjevega izreka
Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.
Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavi ss, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino ℓ, kar da:
kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a1a2...aℓ.
b ℓ − 1 je mnogokratnik p, ker je (b ℓ − 1)a/p celo število. Poleg tega bn−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ, saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od ℓ.
Naj je sedaj ℓ = hk. Potem je b ℓ − 1 mnogokratnik bk − 1. Naj je b ℓ − 1 = m(bk − 1), tako, da velja:
b ℓ − 1 je mnogokratnik p; bk − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot ℓ ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,
pa je celo število. Tako je:
Sedaj se razdeli niz a1a2...aℓ na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N0...Nh − 1 v osnovi b, tako, da je:
Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b je treba pokazati, da je vsota h celih števil Ni mnogokratnik bk − 1.
Ker je bk kongruentno 1 modulo bk − 1, bo tudi vsaka potenca bk kongruentna 1 modulo bk − 1. Zato:
kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.
Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka se vzame posebni primer, kjer je h = 2. N0 in N1 sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja:
N0 in N1 ne moreta bita oba enaka 0 (saj bi bilo a/p = 0), in ne moreta biti oba enaka bk − 1 (ker bi bilo a/p = 1), tako da je:
in, ker je N0 + N1 mnogokratnik od bk − 1, sledi, da je:
Sklici
Viri
Kategorija:Matematični izreki Kategorija:Ulomki Kategorija:Številski sistemi Kategorija:1836 v znanosti