Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko , kjer so kompleksna števila elementi, ki se množijo kot v kvaternionski grupi.
Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov običajne kvaternione, ko so koeficienti navadna kompleksna števila hiperbolične kvaternione, ko so hiperbolična števila Studyjevi kvaternioni (dualni kvaternioni), če so dualna števila.
Definicija
Če je baza kvaternionov in so kompleksna števila, potem je bikvaternion enak Hamilton (1853) stran 639
Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton Hamilton (1853) stran 730Hamilton (1899) Elements of Quaternions, 2. izdaja, stran 289 (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka , ker je v kvaternionski grupi. To pomeni, da je , , in , ker je skalar.
Značilnosti
Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt (nad realnimi števili), kjer je obseg kompleksnih števil in je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.
Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki kvaternionska konjugacija kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov
kjer je kadar je .
Pri tem pa velja .
Vloga v teoriji kolobarjev Linearna predstavitev
Poglejmo zmnožek dveh matrik: = .
Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot , potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da
predstavlja kvaternion.
Podalgebre
Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil , potem tvori bazo tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je .
Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa in tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je algebra, ki je izomorfna s tesarinami.
Tretjo podalgebro določata in . Pri tem je treba upoštevati, da je in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo tvori kokvaternionsko algebro.
Opombe in sklici
Zunanje povezave Bikvaternionska formulacija relativistične tenzorske dinamike
Kategorija:Kvaternioni Kategorija:Teorija kolobarjev Kategorija:Števila