Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo , potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z ali in je enaka .
Značilnosti
Če sta in kompleksni matriki z razsežnostjo in sta in poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ( je enotska matrika): e0 = I. eaX ebX = e(a + b)X. eXe−X = I. če je XY = YX potem je eXeY = eYeX = e(X + Y). Če je Y obrnljiva potem je eYXY−1 = Y eXY−1. exp(XT) = (exp X)T, kjer XT pomeni transponirana matrika matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X simetrična tudi eX simetrična in, če je X poševnosimetrična potem je eX ortogonalna. exp(X*) = (exp X)*, kjer pa X* pomeni konjugirano transponirano matriko matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X Hermitska matrika tudi eX Hermitska matrika in, če je X poševnohermitska matrika (antihermitska), potem je eX unitarna matrika.
Določanje vrednosti matričnih eksponentov V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik: Diagonalna matrika Kadar je matrika diagonalna izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali
To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika takšna, da velja in je diagonalna matrika, potem velja .
Nilpotentnost
Matrika je nilpotentna, če velja za poljubno celo število . V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov .
Uporaba
V linearnih diferencialnih enačbah
Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe
ima rešitev eCty(0).
Če vzamemo vektor
potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot .
To nam pa da
Glej tudi
matrična funkcija logaritem matrike
Zunanje povezave
Eksponent matrike na MathWorld Eksponent matrike na PlanethMath Eksponent matrike
Kategorija:Matrike Kategorija:Liejeve grupe