Seznam Liejevih grup vsebuje nekatere Liejeve grupe in z njimi povezane Liejeve algebre.
Realne Liejeve grupe in njihove algebre Legenda CM: Je grupa G kompaktna? (Da-D ali ne-N) : Nam prikazuje grupe komponent za G. Red komponent grup nam da število povezanih komponent. Grupa je povezana, če in samo, je grupa komponent trivialna (označena z 0). : Nam prikazuje osnovno grupo za G, kadarkoli je G povezana grupa. Ta grupa je enostavno povezana, če in samo, če je osnovna grupa trivialna (označena z 0). UC: Kadar G ni enostavno povezana grupa, nam da univerzalno pokritje za G.
Liejeva grupa opis CM UC opomba Liejeva algebra razsež./R Rn evklidski prostor s seštevanjem N 0 0 abelova Rn n R× neničelna realna števila z množenjem N Z2 – abelova R 1 R+ pozitivna realna števila z množenjem N 0 0 abelova R 1 S1 = U(1) krožna grupa: kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; D 0 Z R abelova, izomorfna za SO(2), Spin(2) in R/Z R 1 Aff(1) obrnljiva afine transformacije iz R v R. N Z2 0 rešljiva, polneposredni produkt za R+ in R× 2 H× neničelni kvaternioni z množenjem N 0 0 H 4 S3 = Sp(1) kvaternioni z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; topološko 3-sfera D 0 0 izomorfno z SU(2) in Spin(3); dvojno pokritje za SO(3) Im(H) 3 GL(n,R) splošna linearna grupa: obratna n×n realna matrike N Z2 – M(n,R) n2 GL+(n,R) n×n realne matrike s pozitivno determinanto N 0 Z n=2Z2 n>2 GL+(1,R) je izomorfen z R+ in je enostavno povezan M(n,R) n2 SL(n,R) specialna linearna grupa: realne matrike z determinanto 1 N 0 Z n=2Z2 n>2 SL(1,R) ena točka in zato kompaktna in enostavno povezana sl(n,R) n2−1 SL(2,R) Izometrije z ohranitvijo orientacije za Poincaréjeva polravnina, izomorfna z SU(1,1) ter izomorfna z Sp(2,R). N 0 Z univerzalno pokritje nima končno razsežnih predstavitev. sl(2,R) 3 O(n) ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike D Z2 – simetrijska grupa sfere (n=3) ali hipersfere. so(n) n(n−1)/2 SO(n) specialna ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike z determinanto 1 D 0 Z n=2Z2 n>2 Spin(n)n>2 SO(1) je samo ena točka in SO(2) je izomorfna s krožno grupo, SO(3) je krožna grupa sfere. so(n) n(n−1)/2 Spin(n) spinska grupa: dvojno pokrivanje za SO(n) D 0 n>1 0 n>2 Spin(1) je izomorfen z Z2 in ni povezan; Spin(2) je izomorfen s krožno grupo in ni enostavno povezan so(n) n(n−1)/2 Sp(2n,R) simplektična grupa: realne simplektične matrike N 0 Z sp(2n,R) n(2n+1) Sp(n) kompaktna simplektična grupa: kvaternionskih n×n unitarnih matrik D 0 0 sp(n) n(2n+1) U(n) unitarna grupa: kompleksnih n×n unitarnih matrik D 0 Z R×SU(n) Za n=1: je izomorfna z S1. Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra u(n) n2 SU(n) specialna unitarna grupa: kompleksna n×n unitarne matrike z determinanto 1 D 0 0 Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra su(n) n2−1
Realne Liejeve algebre
Legenda: S: Je algebra enostavna? (Da-D ali ne_N) SS: Je algebra polenostavna? (Da-D ali ne-N)
Liejeva algebra opis S SS opombe razsež./R R realna števila, Liejev oklepaj je nič 1 Rn Liejev oklepaj je nič n H kvaternioni z Liejevim oklepajem kot komutatorjem 4 Im(H) kvaternioni z ničelnim realnim delom in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem, izomorfni z realnimi 3-vektorji, z Liejevim oklepajem vektorskega produkta, je tudi izomorfna z su(2) in so(3,R) D D 3 M(n,R) n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2 sl(n,R) kvadratne matrike s sldjo 0 in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2−1 so(n) poševnosimetrične kvadratne realne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem. D D Izjema: so(4) je polpreprosta, toda ni preprosta. n(n−1)/2 sp(2n,R) realne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0 kjer je J običajna poševnosimetrična matrika D D n(2n+1) sp(n) kvadratne kvaternionske matrike A, ki zadoščajo A = −A*, in Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n(2n+1) u(n) kvadratne kompleksne matrike A, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2 su(n) n≥2 kvadratne kompleksne matrike A s sledjo 0, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n2−1
Kompleksne Liejeve grupe in njihove algebre
Vpisana razsežnost je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo groupo/algebro lahko gledamo kot realno Liejevo groupo/algebro z dvakratno razsežnostjo.
Liejeva grupa opis CM UC opombe Liejeva algebra razsež./C Cn grupna operacija je seštevanje N 0 0 abelova Cn n C× neničelna kompleksna števila z množenjem N 0 Z abelova C 1 GL(n,C) splošna linearna grupa: obrnljiva n×n kompleksne matrike N 0 Z Zan=1: izomorfne z C× M(n,C) n2 SL(n,C) specialna linearna grupa: kompleksne matrike z determinanto 1 N 0 0 za n=1 je to samo ena točka in je zato kompaktna. sl(n,C) n2−1 SL(2,C) posebni primer SL(n,C) za n=2 N 0 0 izomorfna s Spin(3,C), izomorfna s Sp(2,C) sl(2,C) 3 PSL(2,C) projektivna specialna linearna grupa N 0 Z2 SL(2,C) izomorfna z Möbiusovo grupo, izomorfna z omejeno Lorenzevo grupo SO+(3,1,R), izomorfna z SO(3,C). sl(2,C) 3 O(n,C) ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike N Z2 – kompakten za n=1 so(n,C) n(n−1)/2 SO(n,C) specialna ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike z determinanto 1 N 0 Z n=2Z2 n>2 SO(2,C) je abelova in izomorfna s C×; neabelova za n>2. SO(1,C) je samo ena točka in zatokompaktnain enostavno povezana so(n,C) n(n−1)/2 Sp(2n,C) simplektična grupa: kompleksne simplektične matrike N 0 0 sp(2n,C) n(2n+1)
Kompleksne Liejeve algebre
Razsežnost, ki je podana, je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo algebro lahko gledamo kot realno Liejevo algebro z dvakratno razsežnostjo.
Liejeva algebra opis S SS opombe razsež./C C kompleksna števila 1 Cn Liejev oklepaj je nič n M(n,C) n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2 sl(n,C) kvadratne matrike s trace 0, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n2−1 sl(2,C) posebni primer sl(n,C) z n=2 D D izomorfna z su(2) C 3 so(n,C) antisimetrične kvadratne kompleksne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D Izjema: so(4,C) je polenostavna, vendar ni enostavna. n(n−1)/2 sp(2n,C) kompleksne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0, kjer je J običajna poševnosimetrična matrika D D n(2n+1)
Kategorija:Liejeve grupe Kategorija:Liejeve algebre Kategorija:Matematični seznami