Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области.Analytic functions of one complex variable , Encyclopedia of Mathematics. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015) Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.
Кошијева интегрална теорема
Нека скуп има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција холоморфна на области и непрекидна на , (), тада за произвољну тачку важи једнакост:
Заправо, шире, важи формула:
Доказ мини|300п|Површина стварног дела функције и њене сингуларности, са контурама описаним у тексту. Први случај: нека .
Означимо функцију . Ова функција је холоморфна над , јер је и јер је . Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције по једнак нули, тј.:
Други случај: нека .
Покушајмо из области да исијечемо мали круг (компактни подскуп од ) око тачке и означимо новонасталу област са . Сада је јасно да се граница скупа састоји од границе и границе новог круга , тј. прецизније . ( је оријентисана граница, те границу такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција холоморфна над , јер је холоморфна над , дакле и над , а , јер . Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:
Одавде се испоставља да је:
Сада треба доказати да је:
Пошто смо изабрали полупречник произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник такав да је . Зато ћемо показати да је . Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало изједначити):
(Ово последње слиједи из чињенице да је )
Због непрекидности функције знамо да се може довести произвољно близу за довољно мало , тј. прецизније:
Одавде слиједи да за произвољно мало можемо наћи довољно мало да буде:
Тиме је теорема доказана.
Генерализација
Верзија Кошијеве интегралне формуле је Коши-Помпејова формула и важи и за глатке функције, пошто је заснована на Стоксовој теореми.Nagayoshi Iwahori, et al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou(jp) 1983/12 (Written in Japanese)Atsuo Fujimoto;"Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" Bai-Fu-Kan(jp)(1979/01) [] (Written in Japanese) Нека је диск у и претпоставимо да је функција комплексне вредности на затварању . Тада
Ова репрезентациона формул се може користити за решавање нехомогених Коши-Риманових једначина у . Заиста, ако је функција у , онда је одређено решење једначине холоморфна функција изван носача . Штавише, ако је у отвореном скупу D,
за неко (где је ), онда је такође у и задовољава једначину
Први закључак је, сажето, да је конволуција компактно подржане мере са Кошијевим језгром
холоморфна функција ван носача . Овде означава главну вредност. Други закључак тврди да је Кошијево језгро фундаментално решење Коши-Риманове једначине. Треба имати на уму да за глатке функције комплексне вредности компактног носача на генерализована Кошијева интегрална формула се поједностављује на
и представља понављање чињенице да је, посматрано као расподела, је фундаментално решење Коши-Римановог оператора . Генерализована Кошијева интегрална формула се може извести за било коју ограничену отворену област са границом из овог резултата и формуле за дистрибуциони извод карактеристичне функције од :
где расподела на десној страни означава контурну интеграцију дуж .
Види још Кошијева интегрална теорема
Референце
Литература
Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979). Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999). Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.] Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.] Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011). Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.] Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999). Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997). Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005) Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006). Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964). Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003). Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
Спољашње везе
Категорија:Комплексна анализа