Лежандрови полиноми представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:
Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.
Својства и полиноми Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:
Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:
Експлицитни развој полинома је:
Првих неколико полинома је: мини|десно|250 px|Првих 6 Лежандрових полинома
Рекурзије Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:
Изводом формуле (1) добија се:
а одатле се добија рекурзивна релација:
Ортогоналност Лежандрови полиноми су ортогонални:
где је δmn Кронекерова делта функција. Друга својства Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од -{n}-:
Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:
Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:
Примена Лежандрових полинома у физици Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:
где су и дужине вектора и , а је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је . Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.
За потенцијал добија се:
Придружени Лежандрови полиноми Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми , који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:
Придружени Лежандрови полиноми повезани су са обичним Лежандровим полиномима следећом релацијом:
Литература
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. . Лежандрови полиноми
Категорија:Специјалне функције Категорија:Ортогонални полиноми Категорија:Полиноми