Хелмхолцова једначина је елиптична парцијална диференцијална једначина:
где представља Лапласов оператор, је таласни број, а амплитуда. Нехомогена Хелмхолцова једначина је облика:
Извод Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине: (1)
Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену: (2) Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину: (3) Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине: (4) и (5)
Преуређујући једначину (4) добијамо: (6) а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције добија се:
При томе -{k}- је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.
Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих За Хелмхолцову једначину: (7) Лапласијан се у поларним координатама пише као:
Због тога једначина (7) постаје: (8)
Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:
гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:
(9)
и (10) Решења од (9) и (10) су:
где је Беселова функција, која је решење Беселове једначине:
Тродимензионално решење у сферним координатама У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:
где су и сферне Беселове функције, а : представља сферне хармонике. Нехомогена Хелмхолцова једначина Нехомогена Хелмхолцова једначина:
рјешава се уз помоћ Гринове функције, односно:
Пошто је:
онда је тродимензионална Гринова функција:
Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:
а Гринова функција као:
Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као:
Литература
-{Korn GA and Korn TM. , McGraw-Hill.}- -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. }- -{Morse PM, Feshbach H . }- Хелмхолцове једначине
Категорија:Диференцијалне једначине Категорија:Херман фон Хелмхолц Категорија:Таласи