Вигнерова D матрица представља матрицу иредуцибилних репрезентација група SU(2) и SO(3). Вигнерова D матрица је квадратна матрица оператора ротација димензија са општим елементима:

Матрица је добила име по Еугену Вигнеру, који ју је први увео 1927. године.

Дефиниција D матрице Генератори Лијевих алгебри SU(2) и SO(3) означимо са , , . За њих вреде следеће комутационе релације:

Оператор

представља Казимиров оператор од SU(2) (или SO(3) ). Оператор ротација може да се прикаже као:

где су и Ојлерови углови. Вигнерова D матрица је квадратна матрица димензија са општим елементима:

При томе мала Вигнерова d- матрица означена је са:

Мала Вигнерова d- матрица Мала Вигнерова d- матрица може да се представи као:

Матрични елементи мале d- матрице повезани су са Јакобијевим полиномима са ненегативним и . Нека је

Онда је:

Онда уз услов релација је:

где су

Својства Вигнерове D матрице Следећих шест оператора:

задовољава комутационе релације:

Уз то два низа узајамно комутирају:

Квадрати тих оператора су једнаки:

Експлицитни облик је:

Дејство оператора на први индекс D-матрице је:

С друге стране дејство оператора на други индекс D-матрице је:

Коначно добија се:

Релација ортогоналности

Кронекеров производ матрица Кронекеров производ D матрица

чини редуцибилну матричну репрезентацију специјалних група SO(3) и SU(2). Редукцијом на иредуцибилне компоненте добија се:

Симболи су Клебш-Горданови коефицијенти.

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима За целобројне вредности и за други индекс једнак нули матрични елементи D-матрице пропорционални су сферним хармоницима и придруженим Лежандровим полиномима:

Одатле се добија следећа релација за мале d-матрице:

Ако су оба индекса једнака нули тада су матрични елементи пропрционални Лежандровом полиному:

Табела мале Вигнерове d- матрице За j=1/2

За j=1

За j=3/2

За j=2

Литература

-{Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York: Academic Press (1959)}- .

Категорија:Лијеве групе Категорија:Ротациона симетрија Категорија:Квантна механика Категорија:Матрице