мини|десно|200п|Паралелни транспорт на сфери Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са а симболи друге врсте са . У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.
Паралелни транспорт десно|мини|220п|Слика 1. Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у вектор има вредност а у некој тачки вредност Ако вектор транспортујемо до он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за Укупна разлика два вектора постаје онда:
Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:
Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. десно|мини|220п|Слика 2. Пример у поларном систему Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености и под углом Нека вектор има координате , односно налази се на удаљеност од центра и из центра се види под углом . Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:
а на другом је:
па се добија:
Паралелан транспорт дуж лука Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: , , и па је:
Осим тога пошто је , , и , онда је
Означимо ли:, , и онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута
могу добити Кристофелови симболи као: , , а сви остали су нула.
Кристофелови симболи прве и друге врсте Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:
Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:
а ту је контраваријантни приказ метричкога тензора, а представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом . Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као:
Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;
С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:
У неким системима За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су , , , , . па су Кристофелови симболи дани са:
За цилиндрични координатни систем симболи су:
Коваријантан извод Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља је
тј.
За мешано тензорско поље имамо:
а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:
Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:
Контракција Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:
и
Ту је |g| детерминанта од , односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом .
Трансформација При трансформацији једнога система у други , вектори базе се коваријантно трансформишу:
па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:
Литература
Кристофелов симбол -{Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. }- -{. Prentice-Hall}-
Категорија:Диференцијална геометрија Категорија:Математичка нотација Категорија:Математичка физика Категорија:Риманова геометрија