Математичка економија је посебан приступ у економској анализи, који се уместо речима, изражава математичким симболима, уместо реченица радије користи једначине, а логични закључаци се изводи помоћу математичких теорема. Предност математичке економије у односу на експлицитну економију, састоји се у коришћењу концизнијег и прецизнијег језика, уз употребу свих постојећих математичких метода, што искључује могућност доношења нежељених или имплицитних закључка, а пружа могућност уопштавања на случај n-променљивих. :Fundamental methods of Mathematical economics , Alpha C. Cheng, приступ 22.5.2013 Као недостатак овог приступа економске анализе, може се уврстити чињеница да је математика апстрактна, а не реална наука. Међутим, без обзира што је економија друштвена наука, математички језик, постао је доминантан у многим њеним сферама.Математика за економисте на Економском Факултету Универзитета у Тузли Увод у математичку економију, Ведад Пашић, приступ 22.5.2013 Модел Економски модел у овом случају се приказује помоћу математичког модела. За описивање његове структуре користе се једначине, добијене усвајањем одређеног скупа претпоставки, на основу којих се успоставља веза између различитих променљивих у једначинама. Тако се из претпоставки, применом математичких операција над једначинама изводе закључци.
За успостављање математичког модела користе се следећи термини: променљиве константе параметри једначине функције Променљиве Променљива је нешто што може да мења вредност, због чега се увек приказује помоћу симбола, уместо бројних вредности. У економији, то обично могу бити цене, количина увоза, извоза итд. Оне променљиве чије вредности тражимо у једначинама, називају се ендогене. Осим њих, у моделу се могу наћи и променљиве које зависе од спољашњих услова, независно од самог модела, па се у том случају називају егзогене променљиве. Константе Променљиве се у оквиру једначина, најчешће појављују у комбинацији са фиксним или константним вредностима. Када се константе вредности директно везују уз променљиву, оне се називају коефицијентима и такође приказују помоћу симбола: најчешће латиничним (a, b, c) или грчким словима (α, β, γ), радије него бројним вредностима. Ове констате, представљене симболима у оквиру модела, могу да узимају било коју вредност, све док се не замене конкретним бројевима. Да би се назначио овакав њихов специјални статус, називају се параметарске константе или краће параметри.Slash Docs: „Основне методе математичке економије“ , треће издање, Alpha C. Cheng, превод Иво Гјенеро, Анте Пуљић, Загреб (1994), ISBN 953-6070-05-07, приступ 29.5.2013
Једначине Променљиве у моделу могу да стоје независно, међутим оне постају занимљиве само када су међусобно повезане у једначинма или такође, неједначинама. У економији се разликују три типа једначина: једначине за дефинисање, у којима се између два алтернативна исказа истог значења поставља знак једнакости (=), а може се користити и знак идентичне једнакости (≡) једначине за описивање понашања, у којима се приказује како се једна промељнива мења у зависности од промена других променљивих једначине услова равнотеже, односно еквилибријума, користе се само у случају да је модел постигао равнотежу.
Функције Реалне функције су основни појам и централни објекат у свим математичким анализама. Функцијом се дефинише правило по коме се нека променљива x из подскупа (домена) реалних бројева D придружујуе један и само једна променљива из скупа реалних борјева R, што се означава на следећи начин:
Функције се користе нпр. у представљању трошкова, прихода и добити. Функција трошкова У економски моделу укупни трошкови су главна променљива, док су остале променљиве фактори који на њу утичу. Укупни трошкови могу се поделити на две врстеМатематика за економисте на Економском Факултету Универзитета у Тузли: „Дефиниција функције“, Ведад Пашић,, приступ 4.6.2013:
стални (фиксни) трошкови, који не зависе директно од процеса производње (амортизација, плате итд) променљиви (варијабилни) трошкови, који зависе од процеса производње и мењају се са њеним порастом или падом
Функција укупних трошкова (T) може да се представи на следећи начин:
где је: — количина производња — фиксни трошкови — варијабилни трошкови пропорционални производњи. Пошто фиксни трошкови не зависе од количине производње, а у случају да не постоји производња, неће бити трошкова који зависе од ње:
Просечни трошак Просечни или унутрашњи трошак, је трошак производње једног производа. Добија се дељењем укупних трошкова са количином производње:
Функција прихода
Приход (P) је једнак количини производа помноженој са ценом (p) производа. То значи да се приход представља у функцији цене:
,
али с обзиром да се анализа трошкова рачуна у односу на производњу, у обзир се узима инверзна функција:
Функција добити
Добит је разлика између прихода и укупних трошкова:
За разлику од прихода и трошкова, добит може бити и негативна.
Равнотежа Равнотежа у економској анализи представља оно стање које не тежи променама, па се због тога њена анализа понекад такође назива и статичка анализа. Математичка економија за ово стање бира скуп међусобно повезаних унутрашњих променљивих, које се битно не мењају. Равнотежно стање може да буде пожељно нпр. у случају да се достиже у тренутку максималне добити, али може бити и непожељно, у случају нпр. високе незапослености.Економски факултет, Универзитет у Тузли - Математика за економисте: „Примена система линеарних алгебарских једначина у економији“, Ведад Пашић, приступ 28.5.2013 Једначинама равнотеже исказује се предуслов за њено успостављање. Најпознатије једначине равнотеже су једнакост количине понуде и потражње на тржишту, као и једнакост наменске штедње и наменских инвестиција у моделу националног дохотка.
Пример линеарног тржишног модела мини|десно|250п|Линеарни модел изолованог тржишта са једном врстом робе Први задатак код модела равнотежног стања је проналажење таквог скупа вредности ендогених променљивих, који ће задовољити услов равнотеже. Овај скуп вредности заправо дефинише стање равнотеже. Нпр. у случају изолованог тржишта са само једном врстом робе, могуће је дефинисати модел преко три променљиве:
— цена робе; — количина тражене робе изражене нпр. у килограмима по месецу — количина понуђене или произведене робе изражене такође у килограмима по месецу
Услов равнотеже која се постиже само у случају да су понуда и потражња једнаки, изражава се једначином:
Ако се претпостави да се потражња може представити монотоно опадајућом линеарном функцијом, која зависи од цене:
у којој су
а понуђена или произведена количина робе монотоно растућом линеарном функцијом:
у којој су
конструише се математички модел, систем од три једначине са три променљиве и четири параметарске константе. Њиховим решавањем долази се до јединстевног решења, које се налази у тачци пресека две функције, која представља уређени пар: цену () и количину робе () у равнотежном стању, у заивисности од константи (a,b,c,d):
, при чему је неопходно испунити услов , да би се резултат за количину налазио на позитивном делу осе и имао смисла.
Осим линеарних, функције понашања понуде и потражње могу да буду квадратне или у општем случају полиномне једначинаме. Њихово решавање је далеко компликованије од просте замене променљивих из једне једначине у другу, укључујући у том случају и потребу за тражење графичког решења функције. Решење није увек обавезно могуће, а у случају да постоји, не мора бити јединствено, као у линеарном примеру.
Општа тржишна равнотежа
На исти начин како је конструисан модел једног, могуће је решити и случај два или више различитих производа. У општем случају, разматра се n производа, сваки са својом ценом, понудом, потражњом, параметима и равнотежа ће бити успостављена само у случају да се испуне услови за сваки од n производа. Модел се представља помоћу 3n једначина, које могу бити знатно сложеније од парцијалног модела, које се уопштено представљају на следећи начин:
где је
У колико постоји решење, добиће се n цена са којима се успосатвља равнотежа. Цене зависе од m параметара и њихов број не мора нужно да буде једнак броју производа n.
Модел националног дохотка
Равнотежа националног дохотка представљена помоћу грубог и једноставног Кејнесовог модела, састоји се од услова равнотеже, који каже да је укупан национални доходак једнак укупној потршњи:
Овај услов укључује ендогене променљиве: — национални доходак — национална потрошња егзогене променљиве: — инвестиције — владина потрошња и једначину понашања:
са параметрима: — аутономна потрошња — гранична склоност потрошњи
Решавањем ових једначина добија се уређени пар за равнотежни национални доходак и равнотежну националну потрошњу:
где је непоходно да се испуни услов да је , како би се избегло дељење са нулом.
Сложенији модел националног дохотка укључује тржиште робе и новца.
Међусекторски модел Василије Леонтијев (; 1906—1999), добитник Нобелове награде (1973), у својој статичкој улазно-излазној () анализи америчке привреде, објављеној 1941. године је претпоставио да се привредна активност може свести на n повезаних сектора.Економски факултет у Београду - часопис „Економски анали“ бр. 172: Василиј Леонтијев, творац инпут-аутпут анализе, Милојко Арсић, стр. 115—127, јануар-март 2007, приступ 2.6.2013 Помоћу статичке анализе, он је покушао да пронађе одговарајући ниво производње сваког производа, која би задовољила укупну потражњу за тим производом. Кренуо је од претпоставке да свака индустрија има само један хомогени производ и да се за његову производњу употребљава фиксни однос потрошње, те да је свака индустрија подређена константним приносима на опсег. Ове су претпоставке нереалне, али се индустрије, које имају нпр. више од једног производа, у теорији могу разматрати као посебне индустрије. Леонтијев је дошао до отворене и затворене форме модела. У затвореном моделу, компоненте потражње се третирају ендогено, па је у једном сектору потрошња производа из другог сектора директно пропорционална обиму производње тог сектора:
где је: — потрошња производа из сектора i у сектору j — производња сектора j — технички коефицијент утрошка, односно коефицијент пропорционалности, константна вредност, одређена технолошким факторима
Код отвореног модела, који је нашао ширу примену, компоненте финалне потражње по секторима су дате егзогено, па је потрошња производа једног сектора једнака збиру испорука у свим осталим секторима и егзогено датих испорука за финалну потражњу (потражња која није утрошак ни за једну индустрију).
где је — езгогена испорука производа за сектор i
Модел се једноставније приказује у матричном облику:
где је: — вектор колона производње димензије n — квадратна матрица техничких коефицијаната димензија (n x n) — вектор колона финалне тражње димензије n
Производ матрице А и вектора Q је вектор колона димензије n, која показује апсолутни обим испорука сектора i сектору j, који одговара датој технологији и датом обиму производње у сектору ј.
Решавањем ове матричне једначине за компликоне систем добија се производња у сваком сектору, која је потребна да би се подмирила егзогено одређена тражња:
где је: матрица секторских мултипликатора димензија (n x n), који показују колико је, директно и индиректно, потребно производа сектора i по јединици производње у сектору ј да би се обезбедио дати вектор финалне потрошње. Налажње инверзне матрице може бити веома дугачко и мучно, чак и уз употребу рачунара, због чега се користе приближне методе за њихово налажење, при чему се матрица мултипликатора може исказати у следећем облику:
где елементи матрице А показују директну зависност између сектора, док елементи осталих матрица (А2, А3, ...) показују индиректне везе између сектора.
У каснијем периоду Леонтијев је поставио темеље и објавио (1953) динамички међусекторски модел:
где је: — квадратна матрица техничких коефицијанта реда (n x n) — вектор колона почетног ниво агрегатне тражње реда n