У електродинамици, Поинтингова теорема је исказ о одржању енергије за електромагнетна поља, који је развио британски физичар Џон Хенри Појнтинг. Теорема наводи да се у датој запремини складиштена енергија мења брзином која је одређена радом извршеним над наелектрисањима унутар те запремине, умањеним за брзину којом енергија напушта ту запремину. Теорема је строго тачна само у срединама које нису дисперзивне, али се може проширити и на дисперзивне случајеве.
Теорема је аналогна теореми о раду и енергији у класичној механици и математички слична једначини континуитета.
Дефиниција
Поинтингова теорема гласи да је брзина преноса енергије по јединици запремине из неког дела простора једнака брзини рада извршеног над расподелом наелектрисања у том делу, увећаној за флукс енергије који напушта тај део.
Математички:
где је: брзина промене густине енергије у запремини. проток енергије из запремине, дат као дивергенција Поинтинговог вектора S. J ⋅ E густина снаге поља које врши рад над наелектрисањима (J је густина струје која одговара кретању наелектрисања, E је електрично поље, а ⋅ представља скаларни производ).
Интегрални облик
Коришћењем теореме о дивергенцији, Поинтингова теорема се такође може записати у интегралном облику:
где је: S проток енергије, дат Поинтинговим вектором; u густина енергије; граница запремине. Облик запремине је произвољан, али фиксан.
Аналогија са једначином континуитета У контексту електротехнике, теорема се понекад записује са проширеним чланом густине енергије u. Овај облик подсећа на једначину континуитета:
где су: ε0 диелектрична пермеабилност вакуума и μ0 магнетна пермеабилност вакуума. густина реактивне снаге која покреће успостављање електричног поља, густина реактивне снаге која покреће успостављање магнетног поља, и густина електричне снаге која се дисипира услед деловања Лоренцове силе на носиоце наелектрисања.
Извођење Брзина рада који електромагнетно поље врши на инфинитезимално наелектрисање
дата је према закону Лоренцове силе као:
(скаларни производ јер је, према дефиницији векторског производа, производ v и B нормалан на v).
Овде је ρ запреминска густина наелектрисања, а густина струје у тачки и времену где је v брзина наелектрисања dq. Брзина рада извршеног над свим наелектрисањима у запремини V биће запремински интеграл:
Према Амперовом закону:
(Напомена: овде се користе облици магнетног и електричног поља H и D. Облици B и E би се такође могли користити у еквивалентном извођењу.)
Заменом овога у израз за брзину рада добија се:
Коришћењем векторског идентитета :
Према Фарадејевом закону:
што даје:
Наставак извођења захтева следеће претпоставке: наелектрисања се крећу у средини која није дисперзивна; укупна густина електромагнетне енергије, чак и за временски променљива поља, дата је са:
Може се показати да важи: и па стога следи:
Враћањем на једначину за брзину рада:
Пошто је запремина произвољна, ово се може записати у диференцијалном облику као:
где је Поинтингов вектор.
Поинтингов вектор у макроскопским срединама У макроскопској средини, електромагнетни ефекти се описују просторно усредњеним (макроскопским) пољима. Поинтингов вектор у макроскопској средини може се дефинисати на начин који је самодоследан са микроскопском теоријом, тако да макроскопски формализам тачно предвиђа просторно усредњени микроскопски Поинтингов вектор. Овај резултат је строго важећи у граничном случају малих губитака и омогућава недвосмислену идентификацију облика Поинтинговог вектора у макроскопској електродинамици.
Алтернативни облици Могуће је извести алтернативне верзије Поинтингове теореме. Уместо вектора флукса као горе, могуће је пратити исти стил извођења, али изабрати , Минковскијев облик , или можда . Сваки избор представља одзив медијума кроз који се талас простире на свој начин: облик има својство да се одзив јавља само услед електричних струја, док облик користи само (фиктивне) струје магнетног монопола. Друга два облика (Абрахамов и Минковскијев) користе комплементарне комбинације електричних и магнетних струја за представљање поларизационих и магнетизационих одзива средине.
Модификација Извођење исказа зависи од претпоставке да се материјали које једначина моделује могу описати скупом својстава сусцептибилности која су линеарна, изотропна, хомогена и независна од фреквенције. Такође се мора претпоставити да материјали немају апсорпцију. Модификација Поинтингове теореме која узима у обзир варијације укључује члан за брзину неомске апсорпције у материјалу, која се може израчунати поједностављеном апроксимацијом заснованом на Друдеовом моделу.
Теорема о комплексном Поинтинговом вектору
Овај облик теореме је користан у теорији антена, где се често разматрају хармонијска поља која се простиру у простору. У овом случају, користећи фазорску нотацију, и . Тада важи следећи математички идентитет:
где је густина струје.
У слободном простору, и су реални бројеви, па узимање реалног дела горње формуле изражава чињеницу да је усредњена израчена снага која тече кроз једнака раду извршеном над наелектрисањима.
Види још Поинтингов вектор Максвелове једначине Закон одржања енергије
Референце
Спољашње везе Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld – A Wolfram Web Resource.
Категорија:Физика Категорија:Електродинамика