Функција ширења тачке, скраћено ФШТ, (енг. Point spread function, PSF) је математички опис физичке слике тачке. Одређеније, она описује распоред светлосне енергије у простору ове слике. Функција ширења тачке је обично дата за раван попречног пресека поља слике тачке на месту најбољег фокуса. Међутим, истим приступом може да се прикаже распоред енергије у равнима других (дефокусираних) попречних пресека слике, као и да се прикаже распоред енергије у уздужном пресеку слике, или да се користи за целокупан тродимензионални приказ распореда њене енергије.
Пошто је слика тачке кључни чинилац који одређује својства и каквоћу проширене оптичке слике (у начелу слика са површином знатно већом од површине слике тачке), као и раздвојну моћ оптичког склопа, ФШТ је незаобилазно средство у стварању и анализи оптичких склопова (система). Као таква је у врло распрострањеној употреби у оптици и, уз функцију ширења линије и функцију ширења ивице, она је најважније средство анализе стварања и каквоће оптичке слике.
Међу значајним оптичким појмовима везаним за ФШT су Стрел рацио и функцијин Фуријеов пар, функција преноса висине (ФПВ).
Опис функције
ФШT је дата интегралном једначином која збира таласни допринос из сваке тачке таласног фронта у оптичком отвору свакој тачци у простору слике. Пошто се заснива на дифракцији светлости, она је облик општег дифракционог интеграла примењеног на посебан случај светлости која долази са површине оптичког отвора, тј. са површине таласног фронта у њему. Пуно формално име ове функције је дифракциона некохерентна функција ширења тачке.
ФШТ може да се изрази у различитим облицима. Њен основни облик је за кружни кружни оптички отвор са равномерним преносом енергије преко целе његове површине, без аберација, у ком случају збирна амплитуда таласа у произвољној тачци P на растојању p од средишта слике може да се у најједноставнијем облику изрази као:ֹ
....... (1)
где је А0 константа сразмерна таласној амплитуди на извору у оптичком отвору (тј. у тачци на таласном фронту из ког талас стиже), a AU је допринос амплитуде тачци P са врло мале површине U на таласном фронту у оптичком отвору (dU означава да је U јединица интеграције, тј. да се збирају амплитуде са свих ових малих површина у које је издељена површина таласног фронта; основа интеграције је врло мала површина а не тачка, зато што је тачка апстрактан појам без физичких димензија). Двоструки интеграл показује да се интеграција врши по две основе: по висини ове јединичне површине на полупречнику таласног фронта, и по радијалном углу полупречнка у оптичком отвору, чиме се покрива целокупна површина таласног фронта.
мини|ОСНОВНИ ЕЛЕМЕНТИ ГЕОМЕТРИЈЕ ТАЛАСНОГ ПОЉА ЗА ФШТДопринос амплитуде АU се обично пише у облику АU=exp[ikL]=e[ikL], који даје амплитуду таласа тачки P сагласно дужини пута таласа до те тачке (е=2,71828 је основа природног логаритма, i је имагинарни број, k=2п/λ је периодни број таласа (за таласну дужину λ у мм, изражава број таласних циклуса по милиметру у радијанима), где је λ таласна дужина, и L је разлика у дужини пута у односу на дужину за коју талас има исту фазу, тј. пуну амплитуду). Овај облик је посебно пригодан за изражавање фазних својстава таласа.
....... (2)
Заменом уопштене величине АU њеним пуним рачунским обликом, као и додавањем чланова који омогућавају укључивање ефекта аберација и/или неравномерности у преносу амплитуде таласа (трансмисије) кроз оптички отвор, овај израз се битно усложњава. У начелу, у пуном облику укључује ову интеграцију по основи дужине пута таласа од таласног фронта у оптичком отвору до тачке слике P, допуњену утицајем својстава таласног фронта (аберација) као и утицаја неравномерности у преносу амплитуде кроз оптички отвор (на пример, средишњег кружног заклона (или централне опструкције, енг. central obstruction) од стране помоћног огледала код рефлективних телескопа). Ова два чиниоца су обухваћена тзв. функцијом оптичког отвора, која у том случају постаје део ФШТ.
ФШТ за савршен кружни оптички отвор (једнобојна)
У основном случају за једнобојну (монохроматску) светлост, за кружни оптички отвор без аберација, и са равномерним преносом амплитуде - тзв. савршен оптички отвор - у равни попречног пресека на месту најбољег фокуса, енергија тачке слике P на растојању p од средишта у равни вертикалног пресека, може да се представи уз помоћ Беселових функција, где је у коначном интегрисаном облику:
........ (3)
где је Ј1 Беселова функција прве врсте првог реда од v, a v=pπ/2, где је p у јединицама λF (F је фокални рацио сабирног снопа светлости, тј. фокални рацио оптичког склопа, дат количником жижне даљине и пречника оптичког отвора за објект у бесконачности; уопште говорећи, F=R/D, тј. фокални рацио је дат количником радијуса закривљености таласног фронта и пречника оптичког отвора).
Најзад, функција ширења тачке је дата количником енергије у средишту слике и енергије произвољне тачке на радијалној удаљености p, дакле ФШТ - тј PSF - у произвољној тачки слике P на растојању p од средишта слике, у равни вертикалног пресека у тачки најбољег фокуса, је:
....... (4)
И пошто је вредност [2Ј1(v0)/v0] практично 1,
....... (5)
Другим речима, средишња тачка са највишом енергијом има јединичну вредност, док је распоред енергије са удаљавањем од ове тачке одређен вредношћу [2Ј1(vp)/vp]2.
Пошто се Беселова функција прве врсте и првог реда може изразити као бесконачна математичка серија, J1(v)=(v/2){1-[(v/2)2/1!2!]+[(v/2)4/2!3!]-[(v/2)6/3!4!]+...}, овај основни облик функције ширења тачке се може написати као:
........ (6)
мини|ГРАФИК ФУНКЦИЈЕ ШИРЕЊА ТАЧКЕ ЗА САВРШЕН КРУЖНИ ОПТИЧКИ ОТВОР Слика приказује график функције ширења тачке, као распоред енергије у дифракционој слици тачке са кружним оптичким отвором без аберација и са равномерним преносом амплитуде. Такође су приказани распоред амплитуде, чијим се квадрирањем добија распоред енергије, тродимензионални изглед функције, као и физичка слика коју ФШТ описује.
ФШТ за савршен кружни оптички отвор је позната као Еријева дифракциона слика, по енглеском математичару и астроному (Sir George Biddell Airy) који га је први математички описао 1835-е. Најсјајнији, средишњи део ове слике, до средишта првог тамног прстена, назива се Ери диск.
Облик ФШТ дат горе користи линеарну димензију полупречника тачке, у јединицама λF, што значи да представља линерну ФШТ. За угаону ФШТ потребно је заменити линеарни полупречник p угаоним, који је дат са а=p/ƒ=pλF/ƒ=pλ/D у радијанима, где је ƒ жижна даљина сабирног снопа светлости, F његов фокални рацио, а D пречник оптичког отвора. За врло мале углове о којима је реч, а=син(α), где је α угаоно растојање тачке од средишта у равни слике.
Пошто је бројчана вредност ангуларног полупречника непромењена - p, сад у јединицама λ/D радијана - угаоне размере ФШТ у λ/D радијана су бројчано једнаке њеним линеарним размерама у јединицама λF. Тако, на пример, линеарно растојање тачке од 1λF одговара ангуларном растојању од 1(λ/D) радијана; за λ=0.00055 mm и D=100 mm, на пример, одговарајући угао је 0.0000055 радијана, или 1.134 лучне секунде.
Значај ФШТ за савршени оптички отвор је у томе што представља горњу границу квалитета физчке (тј. стварне) оптичке слике. Као таква она је основа према којој се одређује ниво квалитета оптичког инструмента.
Својства ФШТ за савршен кружни оптички отвор
Својства ФШТ су геометријска - она која описују облик и размере распореда енергије описаног овом функцијом - и физичка, која дају садржај те енергије, везано или не са геометријским својствима функције.
мини|СВОЈСТВА ФУНКЦИЈЕ ШИРЕЊА ТАЧКЕ ЗА САВРШЕН КРУЖНИ ОПТИЧКИ ОТВОРОсновна геометријска својства ФШТ су димензије средишњег врха зрачења, и растојања и димензје тамних и сјајнијих прстенова зрачења који га окружују. У погледу енергије, најзначајније својство, које је директно мерило каквоће оптичке слике у оптичким инструментима за општу употребу, је релативан садржај енергије унутар средишњег врха у односу на енергију изван њега.
Код инструмената за посебне намене, заокружена енергија за друге полупречнике слике тачке такође мође бити битна, и ефекат аберација, у односу на савршени оптички отвор, се просуђује по том основу. Заокружена енергија, тј. садржај енергије унутар произвољног полупречника p слике је у општем облику дата са:
Еz(p)=1-[Ј0(πр)]2-[Ј1(πр)]2 (7)
где је Ј0 Беселова функција прве врсте нултог реда, а p је, као раније, удаљеност тачке од средишта слике, тј. полупречник. Овај општи облик такође се може изразити са две Беселове функције у облику бескрајних серија, као:
........ (8)
где је, као раније, v=πp/2.
За низак ниво аберација, испод 0.15λ РМС грешке таласног фронта, део заокружене енергије унутар Ери диска, у сразмери према енергији Ери диска савршеног оптичког отвора, је приближно сразмеран Стрел рациу (практично једнак за грешке испод 0.1λ РМС), општеприхваћеном мерилу каквоће оптичке слике.
На слици десно дата су основна својства ФШТ за савршен кружни оптички отвор, како геометријска, тако и у погледу распореда енергије. Пречник круга описаног средином првог тамног прстена (тзв. прва минима) једнак је пречнику Ејри диска, датом са 2.44λF линеарно, и 2.44λ/D ангуларно, који одређује површину средишњег врха. Овај врх садржи 83,8% од целокупне енергије слике тачке, а остатак је у прстеновима.
Ширина ФШТ на половини средишњег врха, или пуна ширина на пола врха, ПШПВ (енг. Full Width at Half Maximum, FWHM) је за савршен оптички отвор једнака 1.03λF, и једнака је стандардној теоретској граници раздвојне моћи оптичког склопа.
Пошто је разлика у сјају између средишњег врха и прстенова врло велика, често се користи логартамски облик функције, у ком се јасно виде размере и сјај прстенова у односу на средишњи врх.
ФШТ за савршен кружни оптички отвор, шири оквир
Слика тачке у равни најбољег фокуса је најважнија са становишта каквоће оптичке слике, и зато је она, у виду ФШТ, у првом плану. Међутим, она представља само један пресек физичке слике тачке. Подаци о својствима слике тачке у другим пресецима, као и о целокупној тродимензионалној слици не само да помажу да се боље разуме ова појава, него и могу бити корисни у погледу описивања проширених својстава слике (као што је, на пример, осетљивост на дефокус).
мини|3-Д ФИЗИЧКA СЛИКA ТАЧКЕ ЗA САВРШЕН КРУЖНИ ОПТИЧКИ ОТВОР Слика десно показује целу физичку слику тачке, која је симетрична у простору испред и иза равни најбољег фокуса (тј. равни ФШТ), смештене у средини слике (горе лево). Међудејство светлосних таласа постоји у целокупном простору између објектива који ствара оптичку слику и слике - као и у простору иза слике - само је због повећања фазних разлика између таласа то слабије што је удаљеност од слике већа.
Уздужни распоред енергије светлости у равни осе је сличан распореду у попречној равни најбољег фокуса. Описан је једноставном синк функцијом,
........ (9)
где је δ=kWδ фазна разлика дефокуса у односу на најбољи фокус (k=2π/λ, a Wδ је пун аберациони коефицијент за дефокус, једнак В-Д грешки дефокуса таласног фронта у јединици таласне дужине). Ова функција има нулу на свака 2π радијана фазне грешке дефокуса од равни најбољег фокуса (у јединицама врх-дно, или В-Д грешке таласног фронта, на сваки цео талас дефокуса}.
Пошто је талас дефокуса једнак 8λF2 (за објект у бесконачности, када се слика ствара на удаљености жижне даљине, те је фокални рацио F дат количником жижне даљине и пречника оптичког отвора; уопштено говорећи, F је дат количником полупречника закривљености таласног фронта и пречника отвора), дужина елипсоидног издужења које у средишњем пресеку садржи Ејри диск је 16λF2.
Као и у случају ФШТ, енергија зрачења је добијена квадрирањем амплитуде у свакој тачки, овог пута, тродимензионалне слике.
ФШТ за савршен кружни оптички отвор, вишебојна светлост
Разлика између таласних поља једнобојне и вишебојне (полихроматске)