мини|Анимирани доказ за формулу која даје збир првих целих бројева 1+2+...+n. alt=A graph depicting the series with layered boxes and a parabola that dips just below the y-axis|мини|Прве четири парцијалне суме низа 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Парабола је њихова поравната асимптота; његов у-пресек је−1/12.Tao, Terence (April 10, 2010), The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, retrieved January 30, 2014
Бесконачан низ чији су услови природни бројеви 1 + 2 + 3 + 4 + · · · је дивергентан низ. Н-ти делимични збир низа је троугаони број. , што расте без граница како Н иде у бесконачност. Пошто се низ парцијалних сума не спаја у ограниченом року, ред нема суму.
Иако на први поглед изгледа да низ нема било какве смислене вредност уопште, може се манипулисати да би се добио низ математички занимљивих резултата, од којих нека имају примену у другим областима, као што су комплексна анализа, квантна теорија поља, као и теорија струна. Многе методе сума се користе у математици за доделу нумеричке вредности чак и дивергентним редовима. Конкретно, методе зета функције регулисања и Рамануџаново сабирање додељују вредност низу -1/12, што је изражено чувеном формулом:Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed., Vertex operator algebras and the zeta function, Contemporary Mathematics 248. стр. 327–340, arXiv:math/9909178
У монографији о теорији месечине, Тери Генон зове ову једначину "једна од најзначајнијих формула у науци".
Парцијалне суме мини|Прва три троугаона броја Парцијални бројеви низа 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ су 1, 3, 6, 10, 15, итд. Н-ти парцијални број је дат формулом:
Ова једначина је била позната Питагорејцима у шестом веку пре нове ере. Бројеви овог облика који се називају троугаони бројеви, јер може да се организује као једнакостранични троугао.
Бесконачни низ троугаоних бројева дивергира до +∞, тако да дефиницијом, бесконачни низ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ дивергира и до +∞. Дивергенција је једноставна последица облика низа: услови не приближити нули, тако да ред дивергира термином теста.
Сумирање Међу класичним дивергентним редовима, 1 + 2 + 3 + 4 + · · · је релативно тешко манипулисати у коначној вредности. Многе методе сумирања се користе за доделу нумеричких вредности дивергентним редовима, неки су моћнији од других. На пример, Цесаро сумирање је позната метода која сумира Грандијеве редове, благо дивергентне редове 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, до 1/2. Абел сумирање је много моћан метод који, не само да сумира Грандијеве редове до 1/2, него и сабира компликованије редове 1 − 2 + 3 − 4 + · · · до 1/4.
За разлику од горњих редова, 1 + 2 + 3 + 4 + · · · није Цесаро сумирање, нити Абел сумирање. Ове методе раде на осцилирању дивергентних редова, али они не могу да произведу коначан одговор за ред који је дивергентан у +∞. Већина од више елементарних дефиниција сумирања дивергентних редова су стабилне и линеарне, и било који од метода и стабилна и линеарна не може да сумира 1 + 2 + 3 +... до коначне вредности; види доле. Потребне су више напредне методе, као што је зета функција регулисања или Рамануџаново сабирање. Такође је могуће утврдити за вредност −1/12 користећи неке грубе хеуристике у вези са овим методама.
Хеуристика мини|Пролаз од Рамануџанове прве свеске описујући "константне" редове Сриниваса Рамануџан је представио два нова извођења "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12" у поглављу 8 своје прве свеске.Ramanujan's Notebooks, retrieved January 26, 2014Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National. стр. 41.Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag. стр. 135–136 Једноставније, мање ригорозно извођење одвија се у два корака, као што следи.
Први кључни увид је да је низ позитивних бројева 1 + 2 + 3 + 4 + · · · личи на наизменични низ 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Ови последњи низови су такође дивергентни, али је много лакше радити са њима; постоји неколико класичних метода да се додели вредност, који су испитивани од 18. века.Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006).
Да би се трансформисао низ 1 + 2 + 3 + 4 + · · · у 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, један може одузети 4 од другог израза, 8 од четвртог израза, 12 од шести израза, и тако даље. Укупан износ који се одузима је 4 + 8 + 12 + 16 + · · ·, који је 4 пута оригиналног низа. Ови односи могу бити изражени уз мало алгебре. Каква год да "сума" низа може бити, назовимо то c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Затим помножимо ове једначине са 4 и одузмемо другу једначину од прве:
Други кључни увид је да је наизменични ред 1 − 2 + 3 − 4 + · · · формална снага експанзије редова функције 1/(1 + x)2 али је са x дефинисан као 1. Сходно томе, Рамануџан пише:
Дељењем обе стране са −3, једна добија c = −1/12.
Уопштено говорећи, опасно је манипулисати бесконачним низом као да је коначан збир, а то је посебно опасно за дивергентне редове. Ако су нуле убачене у арбитрарне позиције дивергентних редова, могуће је доћи до резултата који нису самоусаглашени, а камоли у складу са другим методама. Конкретно, корак 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + · · · није оправдан законом адитивног идентитета. За екстреман пример, додавање једне нуле до предњег дела низа може довести до неконзистентног резултата.
Један од начина да се поправи ову ситуација, и да се ограниче места на којима се могу стављати нуле, је да се прати сваки израз у низу повезивањем са зависношћу од неке функције.Promoting numbers to functions is identified as one of two broad classes of summation methods, including Abel and Borel summation, by Knopp, Konrad (1990) . У низу 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, сваки израз н је само број. Уколико је израз н унапређен на функцију n−s, где је ѕ комплексна варијабла, онда један може осигурати да су само као услови додати. Добијеним низом може да се манипулише на више ригорозан начин, а варијабла ѕ може да се подеси на -1 касније. Имплементација ове стратегије се назива Зета функција регулисања.
Зета функција регулисања мини|Парцела ζ(s). За s > 1, низ конвергира и ζ(s) > 1. Аналитички наставак око стуба за s = 1 доводи до региона негативне вредности, укључујући ζ(−1) = −1/12 У зета функцији регулисања, низ је замењен низом . Овај последњи низ је пример Дириклетовог низа. Када је реални део ѕ је већи од 1, Дириклетов низ конвергира, а његов износ је Риманова зета функција ζ(s). С друге стране, Дириклетов низ дивергира када је реални део ѕ мањи или једнак 1, па, посебно, низ 1 + 2 + 3 + 4 + · · · који резултује из s = –1 не конвергира. Корист од увођења Риманове зета функције је што се могу дефинисати и друге вредности ѕ аналитичким наставком. Тада се може дефинисати да зета-регулисан збир 1 + 2 + 3 + 4 + · · · буде ζ(−1).
Од ове тачке, постоји неколико начина да докажемо да је ζ(−1) = −1/12. Једна од метода, на линији Ојлеровог резоновања, користи однос између Риманове зета функције и Дириклетове ета функције η(s). Зета функција је дефинисана низовима за наизменични Дириклетов низ, тако да је овај метод паралелан ранијим хеуристицима. Где оба Дириклетова низа конвергирају, један има идентитет:
Идентитет задржава када су обе функције продужене аналитичким наставком да укључе вредности ѕ за које оба низа дивергирају. Заменом s = −1, један је −3ζ(−1)=η(−1). Сада, рачунајући да је η(−1) лакши задатак, како је ета функција једнака Абеловом збиру његових дефинисања низова, која је једнострана граница:
Дељењем обе стране са −3, добијамо да је ζ(−1) = −1/12.
Кутоф регуларизација
alt=A graph showing a parabola that dips just below the y-axis|мини|Асимптотско понашање изравнања. У-пресретање параболе је −1/12. Начин регулисања помоћу кутоф функције могу "изравнати" низ да стигне на -1/12. Изравнање је концептуални мост између зета функције регулисања, са ослањањем на комплексне анализе, и Раманујанове сумације, са његовом пречицом до Ојлер-Маклоренове формуле. Уместо тога, поступак ради директно на конзервативним трансформацијама низова, коришћењем метода реалне анализе.
Идеја је да се замени лоше понашање дискретног низа поравнатим низом , где је f гранична функција са одговарајућим својствима. Гранична функција мора бити нормализована до f(0) = 1; ово је другачија нормализација од оне која се користи у диференцијалним једначинама. Гранична функција треба да има довољно ограничења да поравна од боре у низу а требало би да падне на 0 брже него што низ расте. Ради лакшег сналажења, може захтевати да је f глатка, ограничена, и компактно подржана. Тада се може доказати да је ова поравната сума асимптотска до −1/12 + CN2, где је C константа која зависи од f. Константни изрази асимптотског ширења не зависе од f: неопходно је да иста вредност даје аналитички наставак, −1/12.
Рамануџаново сабирање Рамануџаново сабирање 1 + 2 + 3 + 4 + · · · је такође −1/12. Рамануџан је написао у свом другом писму Г. Х. Харди, 27. фебруар 1913.: "Драги господине, ја сам веома задовољан на проучавању Вашег писма из 8. фебруара 1913. Очекивао сам Ваш одговор сличан оном који је професор математике у Лондону написао питајући ме да пажљиво проучим Бромвичев бесконачан низ, и да не паднем у замке дивергентних редова. ... Рекао сам му да је збир бесконачног броја израза низа: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 по мојој теорији. Ако Вам кажем ово Ви ћете одмах истаћи лудницу као мој циљ. Ја сам одговорио на ово једноставно да Вас убедим да нећете моћи да пратите моје методе доказивања ако ја укажем линије на којима сам наставио у једном писму. …" Рамануџанова сума је метод да се изолује стални термин у Ојлер-Маклореновој формули за парцијалне суме низа. За неку функцију f, класичан Рамануџанов збир низа је дефинисан као
где f(2k−1) је (2k−1)-ти извод f и B2k је 2k-ти Бернулијеви број: B2 = 1/6, B4 = −1/30, и тако даље. Стављање f(x) = x, први извод f је 1, и сваки други израз нестаје, тако да је:Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag. стр. 13,134
Да би се избегле недоследности, модерна теорија Рамануџановог збира захтева да је f "редовно" у смислу да изводи вишег реда f пропадају довољно брзо за остале изразе у Ојлер-Маклауриновој формули да имају тенденцију 0. Рамануџан прећутно претпоставља некретнину. Захтев регуларности спречава коришћење Раманџановог сумирања по размакнутим низовима као што су 0 + 2 + 0 + 4 + · · ·, јер ниједна редовна функција не узима те вредности. Уместо тога, такав низ се мора тумачити зета функцијом регулисања. Из тог разлога, Харди препоручује "велики опрез" приликом примене Рамануџановог сумирања познатог низа да се пронађу износи повезаног реда.
Неуспех стабилних линеарних метода сумирања Метод сумирања који је линеаран и стабилан не може сумирати низ 1 + 2 + 3 + ... до коначне вредности. (Стабилно значи да додавање термина почетку низа повећава износ за исти износ.) Ово се може посматрати на следећи начин. Ако је 1 + 2 + 3 + ... = x затим додавање 0 обема странама даје 0 + 1 + 2 + ... = 0 + x = x стабилношћу. Линеарношћу, може се одузети друга једначина од прве да се добије 1 + 1 + 1 + ... = x – x = 0. Додавање 0 на обема странама опет даје 0 + 1 + 1 + 1 + ... = 0, и одузимањем последња два низа даје 1 + 0 + 0 + ... = 0 контрадикторне стабилност.
Метода коришћене изнад да сумирају 1 + 2 + 3 + ... или нису стабилне или нису линеарне. На пример, постоје две различите методе зване зета функција регулисања. Прва, који дефинише збир a + b + c + ... скупа бројева да буде вредност аналитичког наставка 1/as + 1/bs + 1/cs + ... за s = –1 (ако постоји), је стабилна, али не линеарна. Друга, која дефинише збир a + b + c + ... од низа бројева да буде вредност аналитичког наставка a/1s + b/2s + c/3s + ... за s = 0 (ако постоји), је линеарна, али не стабилна. (Обе методе додељују низу 1 + 2 + 3 + ... вредност ζ(–1) = –1/12.)
Физика