Аберациони полиноми Зерникеа, Зернике полиноми, или Зернике аберациони полиноми (такође, Зернике аберације) су полиноми који су у основном општем облику ортогоналног полинома
(1)
ортогонални над површином јединичног круга. У облику ортонормалног полинома, општег облика
(1.1)
укључују чинилац поравнања , који их чини ортонормалним над површином круга. Општи облик полинома са додатим коефицијентом проширења , неопходним за изражавање величине аберације,
(1.2)
представља Зернике аберациони израз, где је ј редни број аберационог израза у Зернике низу - који представља Зернике аберациону функцију - заснован на вредности бројних чинилаца n и m.
У основном облику, полиноми описују различите тродимензионалне облике одступања од равни круга јединичног полупречника - тзв. јединичног круга. Одступања од равни круга - тзв. нулте равни, или равни нуле - су једнака одступањима таласног фронта од најбоље поредбене сфере; другим речима, раван круга представља поредбену сферу, а облик одступања од ње описује оптичку аберацију.
Шири опис
Три основна облика Зернике полинома су ортогонални, ортонормални и Зернике аберациони израз. Делови општих облика полинома су: , тзв. радијални полином круга, или функција радијалне координате, која изражава зависност у односу на вредност радијалне координате ρ, , угаона учесталост, или функција угаоне координате, која може бити синус или косинус угла mθ, i одређује (цео) број циклуса у распону угаоне координате, од 0 до 2π радијана (360 степени) , чинилац поравнања, или чинилац нормализације, који који омогућава да се различити облици одступања непосредно додају и одузимају на нивоу РМС грешке, и , коефицијент проширења, чија је апсолутна вредност једнака РМС грешци приписаној одређеном облику одступања
Основни облик Зернике полинома је тзв. ортогонални полином, који се састоји од радијалног полинома и угаоне учесталости . Ортонормални полином се састоји од ортогоналног полинома помноженог са чиниоцем поравнања (или нормализације) . Облик полинома који се користи у прорачунима, тзв. Зернике аберациони израз (енг. Zernike aberration term), је ортонормални полином помножен са коефицијентом проширења , што је чинилац који одређује величину датог облика одступања.
мини|СЛИКА 1: ЈЕДИНИЧНИ КРУГ ЗЕРНИКЕА, ОСНОВНЕ ФУНКЦИЈЕ АБЕРАЦИОНОГ ИЗРАЗА Ширењем општег облика полинома од најједноставнијих према сложенијим полиномима ствара се аберациона функција, која може да садржи неограничен број полинома, тј. неограничен број различитих облика одступања таласног фронта од сферног. Придавањем потребних величина одговарајућим члановима (тј. полиномима) ове функције, може да се изразе најразличитији облици одступања таласног фронта од сферног, и послужи као основа да се одреде последице одступања по каквоћу оптичке слике.
Слика десно показује јединични круг, у ком су координате тачке одређене у поларним координатама, радијалном висином ρ и углом радијуса на коме тачка лежи (А). Координате тачке такође могу бити дате у Картезијанском (Декартовом) координатном систему са нулом у средишту круга, као (x,y). Радијални полином одређује облик промене одступања са висином тачке на радијусу, док угаона функција одређује промену облика одступања са обртним углом (Б, где је W(ρ,θ) одступање таласног фронта). Угаона учесталост одређује колико пуних циклуса од најмање до највеће вредности одступања има унутар пуног угла од 2π радијана (360 степени), и једнак је броју циклуса (В).
Настанак
Основни облик полинома, као теорију ортогоналних полинома круга, поставио је 1934-те холандски нобеловац Фриц Зернике. После 1934. године, основни облик полинома је обрађиван и прилагођаван у сврху употребе у истраживањима различитих области оптике, од теорије дифракције (Ben Nijboer) до реконструкције таласног фронта у сврху одређивања особина оптичке слике. За ову последњу сврху уобичајено је да се, макар у основи, користи обрада Зернике полинома Емила Волфа (Principles of Optics, Born and Wolf).
Употреба
Основна употреба Зернике полинома је за одређивање својстава одступања таласног фронта у склоповима са кружним или прстенастим оптичким отвором. Поступком украјања потребног броја полинома у дати сложени облик одступања, добија се податак о томе које аберације су присутне, и које су највеће. Поступак украјања се често назива "разградња" (енг. decomposition) таласног фронта на Зернике полиноме, тј. на Зернике изразе или аберације.
мини|СЛИКА 2: УКРАЈАЊЕ ЗЕРНИКЕ ИЗРАЗА У ОДСТУПАЊЕ ТАЛАСНОГ ФРОНТА Слика десно је једноставан пример уклапања Зернике аберација у дато одступање таласног фронта. Компјутерски програм је сваком од првих 16 Зернике израза приписао одговарајућу вредност (у јединици таласне дужине светлости λ), тако да збир ових 16 Зернике аберација производи дати облик одступања (вредност виших Зернике аберација је у овом случају једнака нули, као што је и вредност синусних аберационих израза, који нису потребни за реконструкцију овог облика одступања).
Пошто је збирна величина Зернике аберација, као РМС грешка, једнака квадратном корену збира квадрата РМС грешака појединачних аберација, једине две аберације битне за овај облик одступања су #4 и #6. Другим речима, дати облик одступања је последица присуства две аберације, астигматизма и коме. У случају астигматизма, РМС грешка Зернике аберације је дата дељењем апсолутне вредности Зернике аберације са √6, а у случају коме дељењем апсолутне вредности Зернике аберације са √8 (за добијање РМС грешке за остале Зернике аберације види Чинилац поравнања).
Потребно је приметити да програм дефинише θ као угао налево од усправне (у) осе, што значи да је оријентација мапе одступања померена за 90° у односу на оријентацију са θ мереним од водоравне (x) осе, као на слици 1. Ово је у начелу погодније за програме за праћење зрака, јер доводи осу мапе у поклапање са осом аберације, која је у основном оквиру обично усправна.
Уз потребно прилагођавање, полиноми могу да се користе и за склопове са другачијим обликом отвора, кад су, у начелу, мање практичан начин изражавања аберација него у случају кружног и прстенастог отвора).
Полиноми се користе не само у области склопова за стварање оптичке слике, него и у области ласера, фајбер оптике, и другим. Зернике полиноми се такође користе ван индустријске оптике, у офталмологији, као и за анализу не-оптичких површина и њихових особина у различитим областима.
Ортогонални полиноми круга
Општи облик ортогоналног Зернике полинома круга дат је са:
(2)
где је тзв. радијални полином круга, који преставља радијалну променљиву, или функцију радијалне координате, која изражава зависност у односу на вредност радијалне координате ρ, док је Umθ угаона учесталост, или функција угаоне координате, која одређује (цео) број циклуса у распону угаоне координате, од 0 до 2π радијана (360 степени).
Радијални полином круга је одређен општим изразом:
(3)
и представља полином n-тог степена који садржи ρn, ρ(n-2)...ρm. Полиноми са парним n се називају парни, а они са непарним n непарни.
У случају одсуства обртне осне симетрије елемената склопа, или у случају одсуства такве симетрије у облику одступања таласног фронта, сваки полином укључује угаону функцију по косинусу и синусу, тј. представљен је са косинусним и са синусним ортогоналним полиномом:
(4) (4.1)
За било коју дату аберацију, облик одступања од нулте равни је исти за косинусни и синусни полином. Разлика је у оријентацији, пошто је синусни полином закренут за половину пуног циклуса угаоне фреквенције, тј. за 360/2m степени, у смеру супротном смеру казаљке на сату. У случају постојања обртне осне симетрије, синусни полином је једнак нули, и преостаје само косинусни.
Скуп полинома круга изведених из општег облика мора да испуњава услов да су n и m цели позитивни бројеви, укључујући нулу, и да је n-m позитиван паран број (такође укључујући нулу). Овако изражени, полиноми се називају заједничким именом ортогоналне Зернике аберације.
Низ ортогоналних полинома
мини|СЛИКА 3: ЗЕРНИКЕ ОРТОГОНАЛНИ ПОЛИНОМИ На слици десно је приказана шема низања ортогоналних полинома Зерникеа са првих 25 полинома, или до n+m=8, где редослед низања прати величину збира n+m, а за исти збир првенство има полином са већим n (могуће су и постоје другачије шеме низања) . Пошто је бројни чинилац n у Зернике полиному једнак највишем изложиоцу над висином тачке ρ у оптичком отвору у одговарајућој класичној аберационој функцији, а бројни чинилац m у Зернике полиному једнак изложиоцу над висином тачке у равни слике у одговарајућој класичној аберационој функцији, Зернике полиноми са n+m=4 одговарају класичним примарним аберацијама четвртог реда, тј. примарним аберацијама таласног фронта, полиноми са n+m=6 секундарним класичним аберацијама, полиноми са n+m=8 терцијарним класичним аберацијама, итд. Тачније, Зернике полиноми представљају одговарајућу класичну аберацију у њеној најбољој жижи, где је најбоља жижа дефинисана као она са најнижом РМС грешком таласног фронта.
Синусни полином се често означава са негативним m у , што проистиче из распореда полинома у тзв. Зернике пирамиди, где су полиноми са m=0 у средини пирамиде, косинусни полиноми са десне (позитивне), а синусни полиноми са леве (негативне) стране.
Први полином, са n=m=0, пистон, представља нулту раван. Он може да представља аберацију само у склоповима са два или више отвора, кад они нису фазно усклађени. Пошто је вредност овог полинома 1, он се такође користи при изражавању класичних помоћу Зернике аберација, за уклањање разлике у положају нулте равни и поредбене сфере у односу на таласни фронт.
Функције на слици представљају пресек одступања косинусног полинома по водоравној средишњој линији мапе одступања, што значи да је десна страна за θ=0, а лева за θ=π радијана. У случају примарног астигматизма и тролиста 8. реда, функција за ове две вредности θ описује само позитивну половину одступања, док је друга, негативна половина описана са θ=π/2 и θ=3π/2 (испрекидана линија).
Аберациони изрази који садрже mθ са m>2 немају строго одређене називе, али уобичајено је да се називају тролист (m=3), четворолист (m=4), итд. (енг. trefoil, quadrafoil, pentafoil...).
Својства
Својства ортогоналних Зернике полинома које их разликују од било којег другог скупа ортогоналних полинома круга су: (1) да је њихов облик независан од ротације координатних оса, и (2) да садрже полином за сваки допуштен пар n и m.
Као што сам назив говори, Зернике ортогонални полиноми су ортогонални у односу на површину јединичног круга, тј. нулту раван. Зернике полиноми су ортонормални у сагласности са:
(5)
за Зернике полином, ортогонални у сагласности са:
(5.1)
за функцију угаоне учестаности, и у сагласности са:
(5.2)
за радијални полином (n, m и n', m' су радијални и угаони чинилац за произвољан пар Зернике полинома). Две функције су ортогоналне ако је њихов производ унутар одређеног домена - у овом случају над површином јединичног круга - једнак нули.
Својство ортогоналних функција битно у овом случају је да је збир позитивних и негативних одступања од односне површине - у овом случају нулте равни - једнак нули.
Ортогонални Зернике полиноми представљају облик одступања таласног фронта у тачки најбоље жиже, али се израз полинома разликује од одговарајућег израза у уобичајеном облику због потребе да се полиноми учине једнообразним у погледу величине одступања од нулте равни. У ту сврху полиноми су измењени тако да је највеће одступање за сваки полином једнако јединици, за ρ=1. Овим се постиже да различити полиноми, који су само-ортогонални у смислу да им је збир одступања од нулте равни једнак нули, постају међусобно ортогонални. Свођење највеће вредности полинома на један захтева да се угаона променљива cosmθ у класичном аберационом изразу замени са cosmθ, и да се израз за радијалну функцију измени тако да задовољава овај захтев.