Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену. Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.
Појам оригинала
Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:
1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе
2. за свако t<0, f(t)=0
3. постоје M и s0, тако да је
Дефиниција Лапласове трансформације
Функција F(s) је »слика« или Лапласова трансформација »оригинала« f(t).
За случај да је добија се једнострана Фуријеова трансформација:
Особине Линеарност
Теорема сличности Ако је , тада је , при чему је
Диференцирање оригинала Ако је и , тада је
Диференцирање слике Ако је , тада је , односно индукцијом се потврђује да важи
Интеграција оригинала Ако је и , тада је
Интеграција слике Ако постоји интеграл , тада је
Теорема померања
Теорема кашњења
Лапласова трансформација конволуције функција
Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је:
Лапласова трансформација периодичних функција Ако има особину , тада важи
Доказ
Одакле следи:
Табела најчешће коришћених Лапласових трансформација
Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности -{t}-, стога су све временске функције у табели помножене са Хевисајдовом функцијом.
ID Функција Временски домен Лапласов -{s}--домен (фреквентни домен) Област конвергенције за каузалне системе 1 идеално кашњење 1a јединични импулс 2 закашњени -{n}--ти степен са фреквенцијским померањем 2a -{n}--ти степен (за цео број -{n}-) 2a.1 -{q}--ти степен (за реално -{q}-) 2a.2 Хевисајдова функција 2b закашњена Хевисајдова функција 2c рампа функција 2d фреквенцијско померање -{n}--тог реда 2d.1 експоненцијално опадање 3 експоненцијално приближавање 4 синус 5 косинус 6 синус хиперболикус 7 косинус хиперболикус 8 експоненцијално опадајући синус 9 експоненцијално опадајући косинус 10 -{n}--ти корен 11 природни логаритам 12 Беселова функција прве врсте, реда -{n}- 13 модификована Беселова функција прве врсте, реда -{n}- 14 Беселова функција друге врсте, нултог реда 15 модификована Беселова функција друге врсте, нултог реда 16 функција грешке Објашњења:
представља Хевисајдову функцију. представља Диракову делта функцију. представља Гама функцију. је Ојлер-Маскеронијева константа.
, је реалан број који обично представља време, иако може да се односи на било коју димензију. је комплексна угаона фреквенција, а је њен реални део. , , , and су реални бројеви. , је цео број.
Каузални систем је систем у коме је импулсни одзив -{h(t)}- нула за свако време -{t<0}-. Види још: каузалност.
Инверзна Лапласова трансформација
У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:
где је реални део било ког сингуларитета функције .
С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.
Дискретна Лапласова трансформација
За функцију целобројне променљиве њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:
Конвергенција овог реда зависи од .
Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.
Примена
У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.
Референце
Литература
, Chapters 3–5
.
. A. Benjamin.
- See Chapter VI. The Laplace transform.
Спољашње везе
-{Wolfram, Laplace Transform}-
-{Laplace-Transformation}-
-{Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS55)}- -{Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr}- -{Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.}-
-{Laplace Transforms at MathPages}- -{ allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.}- -{ to calculate Laplace Transforms online easily.}-
Категорија:Математичка анализа Категорија:Електротехника
Категорија:Диференцијалне једначине Категорија:Фуријеова анализа