мини|десно|350п|Геометријска интерпретација Лагранжове теореме Лагранжова теорема () је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе.Математичка анализа, (Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање, Техничка књига, Загреб, 1975.Виша математика I (академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969. Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.
Формулација Ако је функција f: непрекидна на затвореном интервалу , и диференцијабилна на отвореном интервалу , онда постоји тачка из интервала , таква да је:
Доказ 1"Математичка анализа 1", (Проф. Др Душан Аднађевић, Проф. Др Зоран Каделбург), Студентски трг, Београд, 1995.
Посматрајмо функцију . И она је непрекидна на и диференцијабилна на . Одредимо за које функција задовољава услове Ролове теореме.
Дакле, да би било , мора бити:
Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка из интервала , таква да је: те је
Доказ 2 Посматрајмо функцију
Како је функција непрекидна и диференцијабилна на интервалу , односно , и функција је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, , што значи да на функцију можемо применити Ролову теорему.
Први извод функције је:
Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка , таква да је , тј. ,
односно: , што је и требало да се покаже.
Геометријска интерпретација мини|300 px|right|Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b]. Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве у некој тачки , која припада затвореном интервалу , паралелна са сечицом која пролази кроз тачке и
Механичка интерпретација Ако се тачка креће по закону , где је непрекидна на и диференцијабилна на , онда постоји тренутак у ком је тренутна брзина једнака средњој брзини на интервалу , која износи , управо јер постоји то када је:
Последице и напомене Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке , као ни о броју таквих тачака. Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако из затвореног интервала , , онда је функција константна на затвореном интервалу . Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за , добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме. Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.
Види још Кошијева теорема Тејлорова теорема Ролова теорема Теореме средње вредности Интервал Математичка анализа Референце
Категорија:Математичке теореме Категорија:Математичка анализа