Коцка

мини|200п|Коцка

Коцка (правилни хексаедар, од - тело са шест површина) је један од пет правилних полиедара. Омеђена је са шест страница, квадратних површи спојених тако да образују тело са дванаест дужи (ивица) и осам темена. Коцка је специјалан случај квадра коме су све странице једнаке. Посебне врсте коцке за играње јесу коцкице и Рубикова коцка.

Уопштење Коцка -{K}- у простору -{Rn}- се може дефинисати помоћу једне тачке -{A = (a1, ..., an)}- из -{Rn}-, дужине ивице коцке -{a}-, као и са -{n}- вектора -{v1, ..., vn}- који чине једну позитивно оријентисану ортонормирану базу -{Rn}-. Рецимо да је свака ивица коцке -{K}- паралелна са тачно једним различитим вектором те базе, као и да тачка -{A}- представља почетак координатног система кога граде ови вектори.

Свака тачка -{X = (x1, ..., xn)}- коцке -{K}- онда може бити представљена на следећи начин:

Уколико се за векторе -{v1, ..., vn}- узму вектори који чине канонску базу -{Rn}-, добија се:

Формуле Следе неке од чешће коришћених формула које се везују за коцку.

мини|200п|Важнији елементи коцке ПовршинаЗапреминаМала дијагоналаНекада се мала дијагонала обележава са -{d}-, а велика са -{D}-. Овде је мала обележена са -{d1}-, а велика са -{d2}-, да би се избегла вишезначност са теменом -{D}-.Велика дијагоналаПолупречник уписане сфереПолупречник описане сфере

Ортогоналне пројекције

Коцка има четири посебне ортогоналне пројекције, центриране, на темену, ивицама, лицу и нормално на њену фигуру темена. Први и трећи одговарају A2 и B2 Коксетеровим равнима.

+ Ортогоналне пројекције Центриране са Лице Теме Коксетерове равниB2100pxA2100px Пројективноасиметрија Нагнути погледи100px100px

Сферно поплочавање

Коцка се такође може представити као сферна плочица, и пројектована на раван путем стереографске пројекције. Ова пројекција је конформна, чува углове, али не и површине или дужине. Праве на сфери се пројектују као кружни лукови на раван.

160px160pxОртографска пројекцијаСтереографска пројекција

Декартове координате

За коцку са центром у координатном пореклу, са ивицама паралелним са осама и са дужином ивице од 2, картезијанске координате врхова су (±1, ±1, ±1)

док се унутрашњост састоји од свих тачака (x0, x1, x2) са −1 < xi < 1 за свако i.

Уједначене боје и симетрија thumb|Стабло октаедарске симетрије

Коцка има три уједначене обојења, назване бојама квадрата око сваког темена: 111, 112, 123.

Коцка има четири класе симетрије, које се могу представити темено-транзитивним бојењем лица. Највиша октаедарска симетрија Oh има сва лица исте боје. Диедрална симетрија D4h долази од тога што је коцка чврста, са свих шест страна различите боје. Призматични подскуп D2d има истo обојење као и претходни, а D2h има наизменичне боје за своје стране за укупно три боје, упарене са супротних страна. Сваки облик симетрије има другачији Витофов симбол.

Име Регуларнихексаедар Квадратна призма Правоугаонатрапезопризма Правоугаоникубоид Ромбнапризма ТригоналнитрапезоедарКоксетеровдијаграмШафлијевсимбол{4,3}{4}×{ }rr{4,2}s2{2,4}{ }3tr{2,2}{ }×2{ } Вајтофовсимбол3 | 4 24 2 | 22 2 2 | СиметријаOh[4,3](*432)D4h[4,2](*422)D2d[4,2+](2*2)D2h[2,2](*222)D3d[6,2+](2*3) Редсиметрије24168812 Слика(једнобразнообојење)(111)(112)80px(112)(123)80px(112)80px(111), (112)

Коцка има једанаест мрежа (једна приказана изнад): то јест, постоји једанаест начина да се шупља коцка спљошти сечењем седам ивица. Да би се обојила коцку тако да ниједна суседна лица нема исту боју, требале би најмање три боје.

Коцка је ћелија јединог правилног поплочавања тродимензионалног еуклидског простора. Такође је јединствен међу Платоновим телима по томе што има лица са парним бројем страна и, сходно томе, једини је члан те групе који је зоноедар (свако лице има тачку симетрију).

Коцка се може исећи на шест идентичних квадратних пирамида. Ако се ове квадратне пирамиде затим причврсте на лица друге коцке, добија се ромбични додекаедар (са паровима компланарних троуглова комбинованих у ромбичне површине).

Количник коцке са Антиподалом мапом даје пројективни полиедар, хемикуб.

Ако оригинална коцка има дужину ивице 1, њен двоструки полиедар (октаедар) има дужину ивице .

Коцка је посебан случај у различитим класама општих полиедара: ИмеЈеднаке дужине ивица?Једнаки углови?Прави углови?КоцкаДаДаДаРомбоедарДаДаНеКубоид НеДаДаПаралелепипедНеДаНеНеНеНе

Темена коцке се могу груписати у две групе по четири, од којих свака формира правилан тетраедар; уопштеније, ово се назива демикуб. Ова два заједно формирају правилно спајање, стела октангула. Пресек ова два формира правилан октаедар. Симетрије правилног тетраедра одговарају симетрији коцке која сваки тетраедар пресликава на себе; остале симетрије коцке пресликавају то двоје једно на друго.

Једнолично саће и полихори

То је елемент од 9 од 28 конвексног једноликог саћа:

Кубично саћеОдсечено квадратно призматично саћеОкресани квадратно призматично саћеИздужено троугласто призматично саћеЖироиздужено троугласто призматично саће100px100px100px100px100pxКантелирано кубно саћеКантизарубљено кубично саћеРансизарубљено кубично саћеРансинирано наизменично кубично саће100px100px100px100px

Такође је елемент пет четвородимензионалних униформних полихора:

ТесерактКантелирана 16-ћелијаРансинирани тесерактКантизарубљена 16-ћелијаРансизарубљена 16-ћелија100px100px100px100px100px

Референце

Литература

Љиљана Петрушевски - Полиедри Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).

Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Bertrand, J. . . . Available as Haeckel, E. . Prestel USA , or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html

Sommerville, D. M. Y. . (Dover Publications edition, 1958)

. . . . .

Спољашње везе

* Volume of a cube, with interactive animation Cube (Robert Webb's site)

Категорија:Геометријска тела Категорија:Запремина Категорија:Елементарни облици

Коцка

Źródło i licencja