мини|Ова Тољатијева површина је алгебарска површина петог степена. Слика представља део њеног реалног локуса.
Алгебарска геометрија је грана математике која користи технике апстрактне алгебре, углавном из комутативне алгебре, за решавање геометријских проблема. Класично, она проучава нуле полинома са више променљивих; модерни приступ ово генерализује у неколико различитих аспеката.
Основни објекти проучавања у алгебарској геометрији су алгебарски варијетети, који су геометријске манифестације решења система полиномских једначина. Примери најпроучаванијих класа алгебарских варијетета су праве, кругови, параболе, елипсе, хиперболе, кубне криве попут елиптичких кривих и криве четвртог степена попут лемниската и Касинијевих овала. Ово су раванске алгебарске криве. Тачка у равни лежи на алгебарској кривој ако њене координате задовољавају дату полиномску једначину. Основна питања обухватају проучавање тачака од посебног интереса попут сингуларних тачака, превојних тачака и тачака у бесконачности. Напреднија питања се односе на топологију криве и однос између кривих дефинисаних различитим једначинама.
Алгебарска геометрија заузима централно место у модерној математици и има вишеструке концептуалне везе са тако различитим областима као што су комплексна анализа, топологија и теорија бројева. Као проучавање система полиномских једначина са више променљивих, предмет алгебарске геометрије почиње проналажењем специфичних решења путем решавања једначина, а затим прелази на разумевање унутрашњих својстава укупности решења система једначина. Ово разумевање захтева како концептуалну теорију, тако и рачунску технику.
У 20. веку, алгебарска геометрија се поделила на неколико подобласти. Главни ток алгебарске геометрије посвећен је проучавању комплексних тачака алгебарских варијетета и, генералније, тачака са координатама у алгебарски затвореном пољу. Реална алгебарска геометрија је проучавање реалних алгебарских варијетета. Диофантска геометрија и, генералније, аритметичка геометрија је проучавање алгебарских варијетета над пољима која нису алгебарски затворена и, специфично, над пољима од интереса у алгебарској теорији бројева, као што су поље рационалних бројева, поља бројева, коначна поља, поља функција и p-адична поља. Велики део теорије сингуларитета посвећен је сингуларитетима алгебарских варијетета. Рачунарска алгебарска геометрија је област која се појавила на пресеку алгебарске геометрије и рачунарске алгебре, са успоном рачунара. Састоји се углавном од дизајна алгоритама и развоја софтвера за проучавање својстава експлицитно датих алгебарских варијетета.
Већи део развоја главне струје алгебарске геометрије у 20. веку догодио се у оквиру апстрактне алгебре, са све већим нагласком на „унутрашњим” својствима алгебарских варијетета која не зависе од било ког одређеног начина смештања варијетета у околни координатни простор; ово је паралелно са развојем у топологији, диференцијалној и комплексној геометрији. Једно кључно достигнуће ове апстрактне алгебарске геометрије је теорија шема коју је развио Александар Гротендик, а која омогућава коришћење теорије снопова за проучавање алгебарских варијетета на начин који је веома сличан њеној употреби у проучавању диференцијалних и аналитичких многострукости. Ово се добија проширењем појма тачке: У класичној алгебарској геометрији, тачка афиног варијетета се може идентификовати, преко Хилбертове теореме о нулама, са максималним идеалом координатног прстена, док су тачке одговарајуће афине шеме сви прости идеали овог прстена. То значи да тачка такве шеме може бити или уобичајена тачка или подваријетет. Овај приступ такође омогућава обједињавање језика и алата класичне алгебарске геометрије, углавном усмерене на комплексне тачке, и алгебарске теорије бројева. Вајлсов доказ дугогодишње хипотезе познате као Последња Фермаова теорема је пример моћи овог приступа.
Основни појмови
Нуле симултаних полинома мини|десно|Сфера и нагнути круг У класичној алгебарској геометрији, главни објекти интересовања су скупови нула колекција полинома, што значи скуп свих тачака које истовремено задовољавају једну или више полиномских једначина. На пример, дводимензионална сфера полупречника 1 у тродимензионалном Еуклидовом простору R3 могла би се дефинисати као скуп свих тачака са
„Нагнути” круг у R3 може се дефинисати као скуп свих тачака које задовољавају две полиномске једначине
Афини варијетети
Прво почињемо са пољем k. У класичној алгебарској геометрији, ово поље су увек били комплексни бројеви C, али многи од истих резултата су тачни ако претпоставимо само да је k алгебарски затворено. Разматрамо афини простор димензије n над k, означен са An(k) (или једноставније An, када је k јасно из контекста). Када се фиксира координатни систем, може се поистоветити An(k) са kn. Сврха рада без kn је да се нагласи да се „заборавља” структура векторског простора коју kn носи.
За функцију f : An → A1 каже се да је полиномска (или регуларна) ако се може написати као полином, односно ако постоји полином p у k[x1,...,xn] такав да је f(M) = p(t1,...,tn) за сваку тачку M са координатама (t1,...,tn) у An. Својство функције да буде полиномска (или регуларна) не зависи од избора координатног система у An.
Када се изабере координатни систем, регуларне функције на афином n-простору могу се поистоветити са прстеном полиномских функција са n променљивих над k. Због тога је скуп регуларних функција на An прстен, који се означава са k[An].
Кажемо да се полином поништава у тачки ако његово вредновање у тој тачки даје нулу. Нека је S скуп полинома у k[An]. Скуп нула од S (или локус поништавања или скуп нула) је скуп V(S) свих тачака у An где се сваки полином из S поништава. Симболички,
Подскуп од An који је V(S), за неко S, назива се алгебарски скуп. Слово V стоји за варијетет (специфичан тип алгебарског скупа који ће бити дефинисан у наставку).
За дати подскуп U од An, може ли се реконструисати скуп полинома који га генеришу? Ако је U било који подскуп од An, дефинишимо I(U) као скуп свих полинома чији скуп нула садржи U. Слово I стоји за идеал: ако се два полинома f и g оба поништавају на U, онда се и f+g поништава на U, а ако је h било који полином, онда се hf поништава на U, тако да је I(U) увек идеал полиномског прстена k[An].
Два природна питања која се могу поставити су: За дати подскуп U од An, када је U = V(I(U))? За дати скуп полинома S, када је S = I(V(S))?
Одговор на прво питање пружа увођење топологије Зариског, топологије на An чији су затворени скупови алгебарски скупови, и која директно одражава алгебарску структуру k[An]. Тада је U = V(I(U)) ако и само ако је U алгебарски скуп или еквивалентно Зариски-затворен скуп. Одговор на друго питање даје Хилбертова теорема о нулама. У једном од својих облика, она каже да је I(V(S)) радикал идеала генерисаног са S. У апстрактнијем језику, постоји Галоаова конекција, која доводи до два оператора затворења; они се могу идентификовати и природно играју основну улогу у теорији; пример је детаљно објашњен код Галоаове конекције.
Из разних разлога можда нећемо увек желети да радимо са целим идеалом који одговара алгебарском скупу U. Хилбертова теорема о бази имплицира да су идеали у k[An] увек коначно генерисани.
Алгебарски скуп се назива несводљивим ако се не може написати као унија два мања алгебарска скупа. Сваки алгебарски скуп је коначна унија несводљивих алгебарских скупова и ова декомпозиција је јединствена. Тако се његови елементи називају несводљиве компоненте алгебарског скупа. Несводљиви алгебарски скуп се такође назива варијетет. Испоставља се да је алгебарски скуп варијетет ако и само ако се може дефинисати као скуп нула простог идеала полиномског прстена.
Неки аутори не праве јасну разлику између алгебарских скупова и варијетета и користе термин несводљиви варијетет да би направили разлику када је то потребно.
Регуларне функције
Као што су непрекидне функције природна пресликавања на тополошким просторима, а глатке функције природна пресликавања на диференцијабилним многострукостима, тако постоји и природна класа функција на алгебарском скупу, која се назива регуларне функције или полиномске функције. Регуларна функција на алгебарском скупу V садржаном у An је рестрикција на V регуларне функције на An. За алгебарски скуп дефинисан над пољем комплексних бројева, регуларне функције су глатке и чак аналитичке.
Може изгледати неприродно рестриктивно захтевати да се регуларна функција увек проширује на околни простор, али то је веома слично ситуацији у нормалном тополошком простору, где Тицеова теорема гарантује да се непрекидна функција на затвореном подскупу увек проширује на околни тополошки простор.
Баш као и са регуларним функцијама на афином простору, регуларне функције на V формирају прстен, који означавамо са k[V]. Овај прстен се назива координатни прстен од V.
Пошто регуларне функције на V потичу од регуларних функција на An, постоји однос између координатних прстенова. Специфично, ако је регуларна функција на V рестрикција две функције f и g у k[An], онда је f − g полиномска функција која је нула на V и стога припада I(V). Тако се k[V] може поистоветити са k[An]/I(V).
Морфизми афиних варијетета Користећи регуларне функције из афиног варијетета у A1, можемо дефинисати регуларна пресликавања из једног афиног варијетета у други. Прво ћемо дефинисати регуларно пресликавање из варијетета у афини простор: Нека је V варијетет садржан у An. Изаберимо m регуларних функција на V, и назовимо их f1, . . ., fm. Дефинишемо регуларно пресликавање f из V у Am тако што нека је . Другим речима, свако fi одређује једну координату кодомена пресликавања f.
Ако је V′ варијетет садржан у Am, кажемо да је f регуларно пресликавање из V у V′ ако је слика од f садржана у V′.
Дефиниција регуларних пресликавања важи и за алгебарске скупове. Регуларна пресликавања се такође називају морфизми, јер чине колекцију свих афиних алгебарских скупова у категорију, где су објекти афини алгебарски скупови, а морфизми су регуларна пресликавања. Афини варијетети су поткатегорија категорије алгебарских скупова.
Нека је дато регуларно пресликавање g из V у V′ и регуларна функција f из k[V′], тада је . Пресликавање је хомоморфизам прстена из k[V′] у k[V]. Обрнуто, сваки хомоморфизам прстена из k[V′] у k[V] дефинише регуларно пресликавање из V у V′. Ово дефинише еквиваленцију категорија између категорије алгебарских скупова и супротне категорије коначно генерисаних редукованих k-алгебри. Ова еквиваленција је једна од почетних тачака теорије шема.
Рационална функција и бирационална еквиваленција
За разлику од претходних одељака, овај одељак се односи само на варијетете, а не на алгебарске скупове. С друге стране, дефиниције се природно проширују на пројективне варијетете (следећи одељак), јер афини варијетет и његово пројективно употпуњење имају исто поље функција.
Ако је V афини варијетет, његов координатни прстен је интегрални домен и стога има поље разломака које се означава са k(V) и назива се поље рационалних функција на V или, кратко, поље функција од V. Његови елементи су рестрикције на V рационалних функција над афиним простором који садржи V. Домен рационалне функције f није V већ комплемент подваријетета (хиперповрши) где се именилац функције f поништава.
Као и код регуларних пресликавања, може се дефинисати рационално пресликавање из варијетета V у варијетет V′. Као и код регуларних пресликавања, рационална пресликавања из V у V′ могу се поистоветити са хомоморфизмима поља из k(V′) у k(V).
Два афина варијетета су бирационално еквивалентна ако постоје две рационалне функције између њих које су инверзне једна другој у регионима где су обе дефинисане. Еквивалентно, они су бирационално еквивалентни ако су њихова поља функција изоморфна.