Никвист-Шенонова теорема одабирања је основни принцип дигиталне обраде сигнала који повезује фреквенцијски опсег сигнала и брзину одабирања потребну да би се избегао тип дисторзије познат као алијасинг. Теорема наводи да брзина одабирања мора бити најмање двоструко већа од ширине опсега сигнала да би се избегао алијасинг. У пракси се користи за одабир филтара за ограничавање опсега како би се алијасинг задржао испод прихватљивог нивоа када се аналогни сигнал узоркује или када се мењају брзине одабирања унутар функције за дигиталну обраду сигнала.
thumb|250px|Пример магнитуде Фуријеове трансформације функције са ограниченим опсегом
Никвист-Шенонова теорема одабирања је теорема у области обраде сигнала која служи као темељни мост између сигнала у континуалном времену и сигнала у дискретном времену. Она успоставља довољан услов за брзину одабирања која омогућава да дискретни низ узорака ухвати све информације из сигнала у континуалном времену коначне ширине опсега.
Стриктно говорећи, теорема се односи само на класу математичких функција које имају Фуријеову трансформацију која је нула изван коначног распона фреквенција. Интуитивно очекујемо да када се континуална функција сведе на дискретни низ и интерполира назад у континуалну функцију, верност резултата зависи од густине (или брзине одабирања) оригиналних узорака. Теорема одабирања уводи концепт брзине одабирања која је довољна за савршену верност за класу функција које су ограничене на дати опсег, тако да се у процесу одабирања не губи никаква стварна информација. Она изражава довољну брзину одабирања у терминима ширине опсега за класу функција. Теорема такође води до формуле за савршену реконструкцију оригиналне функције у континуалном времену из узорака.
Савршена реконструкција може и даље бити могућа када критеријум брзине одабирања није задовољен, под условом да су позната друга ограничења сигнала (погледајте одељак Одабирање сигнала ван основног опсега испод и компресовано очитавање). У неким случајевима (када критеријум брзине одабирања није задовољен), коришћење додатних ограничења омогућава приближне реконструкције. Верност ових реконструкција може се проверити и квантификовати коришћењем Бохнерове теореме.
Назив Никвист-Шенонова теорема одабирања одаје почаст Харију Никвисту и Клоду Шенону, али теорему је такође претходно открио Е. Т. Витакер (објављено 1915), а Шенон је цитирао Витакеров рад у свом делу. Теорема је стога позната и под називима Витакер-Шенонова теорема одабирања, Витакер-Шенонова, и Витакер-Никвист-Шенонова, а може се називати и кардинална теорема интерполације.
Увод Одабирање је процес претварања сигнала (на пример, функције континуалног времена или простора) у низ вредности (функцију дискретног времена или простора). Шенонова верзија теореме гласи: Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, ,
Довољна брзина одабирања је, дакле, било која вредност већа од узорака у секунди. Еквивалентно, за дату брзину одабирања , савршена реконструкција је гарантовано могућа за ограничење опсега . Када је ограничење опсега превисоко (или не постоји), реконструкција показује несавршености познате као алијасинг. Модерне формулације теореме понекад пажљиво експлицитно наводе да не сме садржати синусоидну компоненту на тачно фреквенцији или да мора бити стриктно мање од половине брзине одабирања. Праг се назива Никвистова брзина и представља атрибут континуалног улазног сигнала који се узоркује. Брзина одабирања мора премашити Никвистову брзину да би узорци били довољни за представљање Праг се назива Никвистова фреквенција и атрибут је опреме за одабирање. Све значајне фреквенцијске компоненте правилно узоркованог постоје испод Никвистове фреквенције. Услов описан овим неједнакостима назива се Никвистов критеријум, или понекад Рабеов услов. Теорема је такође применљива на функције других домена, као што је простор, у случају дигитализоване слике. Једина промена, у случају других домена, су јединице мере које се приписују и
thumb|right|250px|Нормализована синк-функција: ... приказује централни врх на , и пресеке са нулом на осталим целобројним вредностима .
Симбол се уобичајено користи за представљање интервала између суседних узорака и назива се период одабирања или интервал одабирања. Узорци функције се обично означавају са (алтернативно у старијој литератури о обради сигнала), за све целобројне вредности Множилац је резултат преласка са континуалног на дискретно време (погледајте Однос са Фуријеовом трансформацијом), и потребан је да би се очувала енергија сигнала како се мења.
Математички идеалан начин за интерполацију низа укључује употребу синк-функција. Сваки узорак у низу замењује се синк-функцијом, центрираном на временској оси на оригиналној локацији узорка са амплитудом синк-функције скалираном на вредност узорка, Након тога, синк-функције се сабирају у континуалну функцију. Математички еквивалентна метода користи Дираков чешаљ и наставља конволуцијом једне синк-функције са низом Диракових делта импулса, пондерисаних вредностима узорака. Ниједна од ових метода није нумерички практична. Уместо тога, користи се неки тип апроксимације синк-функција, коначне дужине. Несавршености које се приписују апроксимацији познате су као грешка интерполације.
Практични дигитално-аналогни претварачи не производе ни скалиране и закаснеле синк-функције, нити идеалне Диракове импулсе. Уместо тога, они производе по деловима константан низ скалираних и закаснелих правоугаоних импулса (задржавање нултог реда), обично праћен нископропусним филтром (који се назива „филтер против сликања”) да би се уклониле лажне високофреквентне реплике (слике) оригиналног сигнала из основног опсега.
Алијасинг
thumb|Узорци два синусна таласа могу бити идентични када је бар један од њих на фреквенцији изнад половине брзине одабирања.
Када је функција са Фуријеовом трансформацијом :
тада су узорци од довољни да се креира периодична сумација од (погледајте Однос са Фуријеовом трансформацијом):
thumb|upright=1.8|right| (горња плава) и (доња плава) су континуалне Фуријеове трансформације две функције, и (нису приказане). Када се функције узоркују брзином , слике (зелене) се додају оригиналним трансформацијама (плаве) када се посматрају дискретне временске Фуријеове трансформације (ДТФТ) низова. У овом хипотетичком примеру, ДТФТ-ови су идентични, што значи да су , иако оригиналне континуалне функције пре узорковања нису. Да су ово аудио сигнали, и можда не би звучали исто. Али њихови узорци (узети брзином ) су идентични и довели би до идентично репродукованих звукова; стога је алијас од при овој брзини одабирања.
што је периодична функција и њена еквивалентна репрезентација као Фуријеов ред, чији су коефицијенти . Ова функција је такође позната као Фуријеова трансформација дискретног времена (ДТФТ) низа узорака.
Као што је приказано, копије се померају за умношке брзине одабирања и комбинују сабирањем. За функцију са ограниченим опсегом и довољно великом могуће је да копије остану међусобно различите. Али ако Никвистов критеријум није задовољен, суседне копије се преклапају, и у општем случају није могуће разазнати недвосмислен Било која фреквенцијска компонента изнад је неразлучива од компоненте ниже фреквенције, назване алијас, повезане са једном од копија. У таквим случајевима, уобичајене технике интерполације производе алијас, а не оригиналну компоненту. Када је брзина одабирања унапред одређена другим разматрањима (као што је индустријски стандард), се обично филтрира да би се његове високе фреквенције смањиле на прихватљиве нивое пре него што се узоркује. Тип филтра који је потребан је нископропусни филтер, а у овој примени се назива филтар за спречавање алијасинга.
thumb|upright=1.8|Спектар, , правилно узоркованог сигнала са ограниченим опсегом (плаво) и суседне ДТФТ слике (зелено) које се не преклапају. Brick-wall нископропусни филтер, , уклања слике, оставља оригинални спектар, , и опоравља оригинални сигнал из његових узорака. upright=1.8|thumb|right|Слика лево приказује функцију (сиво/црно) која се узоркује и реконструише (златно) при стално растућим густинама одабирања, док слика десно приказује фреквенцијски спектар сиво/црне функције, који се не мења. Највиша фреквенција у спектру је половина ширине целог спектра. Ширина стално растућег ружичастог сенчења једнака је брзини одабирања. Када обухвати цео фреквенцијски спектар, она је двоструко већа од највише фреквенције, и тада се реконструисани таласни облик поклапа са узоркованим.
Извођење као посебан случај Поасонове сумације Када нема преклапања копија (такође познатих као „слике”) од , члан из може се повратити производом:
где је:
Теорема одабирања је доказана пошто јединствено одређује .
Све што преостаје је да се изведе формула за реконструкцију. не мора бити прецизно дефинисано у региону јер је нула у том региону. Међутим, најгори случај је када је Никвистова фреквенција. Функција која је довољна за тај и све мање озбиљне случајеве је:
где је правоугаона функција. Стога:
(из , горе).
Инверзна трансформација обе стране производи Витакер-Шенонову формулу за интерполацију:
што показује како се узорци, , могу комбиновати да би се реконструисало .
Веће вредности од потребних (мање вредности ), назване прекомерно одабирање (енгл. oversampling), немају утицаја на исход реконструкције и имају предност што остављају простор за прелазни опсег у којем може слободно узимати међувредности. Пододабирање, које узрокује алијасинг, у општем случају није реверзибилна операција. Теоретски, формула за интерполацију може се имплементирати као нископропусни филтер, чији је импулсни одзив и чији је улаз што је Дираков чешаљ функција модулисана узорцима сигнала. Практични дигитално-аналогни претварачи (DAC) имплементирају апроксимацију попут задржавања нултог реда. У том случају, прекомерно одабирање може смањити грешку апроксимације.
Шенонов оригинални доказ Поасон показује да Фуријеов ред у производи периодичну сумацију , без обзира на и . Шенон, међутим, изводи коефицијенте реда само за случај . Практично цитирајући Шенонов оригинални рад:
Нека је спектар од Тада
јер се претпоставља да је нула изван опсега Ако ставимо да је где је било који позитиван или негативан цео број, добијамо:
Са леве стране су вредности у тачкама одабирања. Интеграл са десне стране ће бити препознат као суштински -ти коефицијент у развоју функције у Фуријеов ред, узимајући интервал од до као основни период. То значи да вредности узорака одређују Фуријеове коефицијенте у развоју у ред. Дакле, оне одређују пошто је нула за фреквенције веће од а за ниже фреквенције је одређено ако су одређени његови Фуријеови коефицијенти. Али у потпуности одређује оригиналну функцију , пошто је функција одређена ако је њен спектар познат. Према томе, оригинални узорци у потпуности одређују функцију .
Шенонов доказ теореме је у том тренутку завршен, али он наставља да расправља о реконструкцији путем синк-функција, што данас називамо Витакер-Шенонова формула за интерполацију, као што је већ дискутовано. Он не изводи нити доказује својства синк-функције, пошто је однос Фуријеовог пара између рект функције (правоугаоне функције) и синк-функција био добро познат у то време.
Као и у другом доказу, претпоставља се постојање Фуријеове трансформације оригиналног сигнала, тако да доказ не говори да ли се теорема одабирања проширује на стационарне случајне процесе са ограниченим опсегом.
Примена на вишеваријабилне сигнале и слике
thumb|right|Подузоркована слика која приказује моаре ефекат|upright=0.9 thumb|right|Правилно узоркована слика|upright=0.9