мини|десно|300px|Teorija reprezentacije proučava kako algebarske strukture „deluju” na objekte. Najjednostavniji primeri su kako simetrije pravilnih poligona, koje se sastoje od refleksija i rotacija, transformišu poligon.
Teorija reprezentacije je grana matematike koja proučava apstraktne algebarske strukture predstavljajući njihove elemente kao linearne transformacije vektorskih prostora, i proučava module za ove apstraktne algebarske strukture.Classic texts on representation theory include and . Other excellent sources are and U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elemente matricama i njegovim algebarskim operacijama (na primer, sabiranje matrica, množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.
Algebrski objekti koji se mogu opisati uključuju grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre. Najprominentnija od njih (i istorijski prva) je teorija reprezentacije grupa, u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.For the history of the representation theory of finite groups, see . For algebraic and Lie groups, see
Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi probleme apstraktne algebre na probleme linearne algebre, oblast koja je dobro izučena.There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer, Hilbertov prostor, metode analize mogu se primeniti na teoriju grupa. Teorija reprezentacije je takođe važna u fizici jer, na primer, ona opisuje kako grupa simetrije fizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.
Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne, te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije: osvetljava i generališe Furijeovu analizu putem harmonijske analize, povezana je sa geometrijom putem invariantne teorije i Erlangenovog programa,, , ima uticaja na teoriju brojeva putem automorfnih formi i programa Langlandsa.,
Drugo, postoje različiti pristupi teoriji reprezentacije. Isti se objekti mogu proučavati metodama iz algebarske geometrije, teorije modula, teorije analitičkih brojeva, diferencijalne geometrije, teorije operatora, algebarske kombinatorike i topologije.See the previous footnotes and also
Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je u teoriji kategorija. Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kao funktori iz kategorije objekta u kategoriju vektorskih prostora. Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.
Definicije i koncepti
Neka je -{V}- vektorski prostor nad poljem -{F}-. Na primer, prostor -{V}- je -{Rn}- ili -{Cn}-, standardni -{n}--dimenzionalni prostor od kolonskih vektora nad realnim ili kompleksnim brojevima, respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeni apstraktna algebra konkretno koristeći -{n}- × -{n}- matrice realnih ili kompleksnih brojeva.
Postoje tri glavne vrste algebarskih objekata za koje se to može učiniti: grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre., ,
Skup svih invertabilnih -{n × n}- matrica je grupa pod matričnim množenjem, i teorija reprezentacije grupa analizira grupu opisivanjem („reprezentacijom”) njenih elemenata u smislu inverzibilnih matrica. Matrično sabiranje i množenje sačinjavaju skup svih -{n × n}- matrica u asocijativnoj algebri, i stoga postoji korespondirajuća teorija reprezentacije asocijativnih algebri. Ako se zameni matrično množenje -{MN}- sa matričnim komutatorom -{MN − NM}-, onda -{n × n}- matrice postaju umesto toga Lijeva algebra, što dovodi so teorije reprezentacije Lijevih algebri.
Ovo se generalizuje do bilo kog polja -{F}- i bilo kog vektorskog prostora -{V}- nad -{F}-, pri čemu linearne mape zamenjuju matrice i kompozicija zamenjuje matrično množenje: postoji grupa -{GL(V,F)}- automorfizama od -{V}-, asocijativna algebra -{EndF(V)}- svih endomorfizama od -{V}-, i korespondirajuća Lijeva algebra -{gl(V,F)}-.
Reference
Literatura
. . . . . . . . .
. . . . . . . Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988. ; (2nd ed.); (3rd ed.)
. . .
.
. .
Spoljašnje veze
Alexander Kirillov Jr., An introduction to Lie groups and Lie algebras (2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.
Категорија:Апстрактна алгебра Категорија:Теорија група Категорија:Математичка анализа