Списак природних бројева | Ирационалан број ζ(3) √2 √3 √5 φ e π Бинарни систем Децимални систем Хексадецимални систем Верижни разломак Квадратни корен из 3 је позитиван реалан број који, када се множи са собом, даје број 3 . Тачније се назива главни квадратни корен из 3, да би се разликовао од негативног броја са истим својством. Означен је са .
Квадратни корен из 3 је ирационалан број . Познат је и као Теодорова константа, названа по Теодору из Цирене, који је доказао његову ирационалност.
Првих шездесет цифара његовог децималног проширења су:
Од децембра 2013. године, њена бројчана вредност у децималним бројевима израчуната је на најмање десет милијарди цифара.
Разломак ( ...) за квадратни корен од три се може користити као приближна вредност. Упркос томе што има именилац од само 56, разликује се од правилне вредности за мање од (приближно ). Заокружена вредност од 1.732 је тачна до 0,01% од стварне вредности.
Архимед пријавио , . тачно до (шест децималних места) и (четири децимале).
Може се изразити као верижни разломак (низ А040001 у Енциклопедија низова целих бројева на мрежи), проширен са десне стране. Тако да је тачно рећи:
онда када :
Може се изразити преко генерализованог верижног разломака као што су
што је оцењено на сваком другом термину.
Следећи угнеждени низ квадратних израза конвергирају ка :
Доказ ирационалности Овај доказ ирационалност за користи Пјер де Фермаову методу бесконачног порекла :
Претпоставимо да је рационалан и изразите га на најнижи могући начин (тј. као потпуно смањени разломак ) као за природне бројеве и .
Стога ће множење са 1 дати једнак израз:
где је највећи цели број мањи од . Имајте на уму да су и бројилац и именилац помножени са бројем мањим од 1.
Помоћу овога и множењем и бројиоца и именилаца добијамо:
Слиједи да се може замијенити са :
Затим се такође може заменити са у називнику:
Квадрат се може заменити са 3. Како се множи са , њихов производ једнак је :
Тада се може изразити нижим изразима од (пошто је први корак смањио величине од бројиоца и имениоца, а следећи кораци их нису променили) као , што је супротност хипотези да је најнижи.
Алтернативни доказ за то је претпоставка да је са потпуно смањени разломак :
Множењем са обе стране, а затим квадрирањем даје
Пошто је лева страна дељива са 3, тако је и десна страна, захтевајући да буде дељив са 3. Тада се може изразити као :
Стога, дељење обе стране са 3 даје:
Како је десна страна дељива са 3, тако је и лева страна, па је и . Дакле, како су и и дељиви са 3, они имају заједнички делилац и није потпуно смањени разломак, супротстављена изворној премиси.
Геометрија и тригонометрија
мини| Дијагонала јединичне коцке је . мини| Ова пројекција Билинског додекаедра је ромб са дијагоналним односом од . Квадратни корен од 3 се може наћи као дужина хипотенузе једнакостраничног троугла који обухвата круг пречника 1.
Ако је једнакостранични троугао са странама дужине 1 подељен на два једнака дела, дељењем унутрашњег угла како би направили прав угао са једном страном, прав угла троуглове хипотенузе је дужина један и стране су дужине и . Из овога је тригонометријска функција тангенте од 60° једнака и синус од 60° и косинус 30° и једнаке .
Квадратни корен од 3 се такође појављује у алгебарским изразима за разне друге тригонометријске константе, укључујући Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds синус од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, и 87°.
То је растојање између паралелних страна правилног шестоугла са страницама дужине 1. На комплексној равни, то растојање се изражава као поменуто у наставку.
То је дужина дијагонале јединичне коцке .
Весица писцис има однос главне осе до мање осе једнак 1: , што се може показати конструкцијом два једнакостранична троугла у себи.
Квадратни корен од −3 Множењем помоћу имагинарне јединице даје квадратни корен -3, који је имагинарни број . Тачније,
(види квадратни корен негативних бројева). То је Ајзенштајнов цео број. Наиме, изражава се као разлика два нереална кубна корена од 1 (који су Ајзенштајнови цели бројеви).
Друге намене
Енергетика У електроенергетици, напон између две фазе у трофазном систему је једнака пута линији неутралног напона. То је зато што било које два фазе су 120° размакнуте, и две тачке на кругу од 120 степени су раздвојене пута полупречника (види примере геометрије горе).
Види још Квадратни корен из 2 Квадратни корен од 5
Референце
Литература
Спољашње везе Теодорова константа на Math World Кевин Браун Е.Б. Давис
Категорија:Ирационални бројеви Категорија:Математичке константе Категорија:Алгебарски бројеви