U diferencijalnoj geometriji, Ati–Zingerova indeksna teorema navodi da je za eliptčki diferencijal operator na kompaktnoj mnogostrukosti, analitički indeks (vezan za dimenziju prostora rešenja) jednak topološkom indeksu (definisanom u smislu topoloških podataka). Njime su obuhvaćene mnoge druge teoreme, poput teoreme Čern–Gaus–Boneta i teoreme Riman–Roča, kao posebnih slučajeva i ima primene u teorijskoj fizici.

Istorija

Izrael Gelfand je postulirao indeksni problem za eliptične diferencijalne operatore. On je uočio homotopnu invarijansu indeksa, i zatražio formulu za njeno izražavanje pomoću topoloških invarijanti. Neki od motivirajućih primera obuhvaćali su teoremu Riman-Roča i njenu generalizaciju teoremu Hirzebruč-Riman-Roča i Hirzebručovu teoremu potpisa. Fridrih Hirzebruč i Armand Borel su dokazali integralnost  vrste spinske mnogostukosti, a Ati je sugerisao da se ovaj integritet može objasniti ako on predstavlja indeks Dirakovog operatora (koji su ponovo otkrili Ati i Zinger 1961. godine).

Ati–Zingerovu teoremu su objavili Ati i Zinger. Oni nisu objavili dokaze skicirane u ovoj najavi, iako se dokazi pojavljuju u knjizi objavljenoj par godina kasnije.(Palais 1965) Dokazi su takođe predstavljeni na naučnom skupu „Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64” koji je održan u Parizu istovremeno sa seminarom koji je na Univerzitetu Prinston vodio Ričard Palais. Ati je održao poslednje predavanje u Parizu o mnogostrukostima sa granicama. Njihov prvi objavljeni dokaz je zamenio teoriju kobordizma prvog dokaza sa K-teorijom, i oni su to koristili za dokaz raznih generalizacija u naknadnim radovima.

1965: Sergej P. Novikov je objavio svoje rezultate o topološkoj invarijansi racionalnih Pontrjaginovih klasa na glatnim mnogostrukostima. 1969: Rezultati Robina Kirbija i Lorenta Sibermana u kombinaciji sa Rene Tomovom publikacijom dokazali su postojanje racionalnih Pontrjaginovih klasa na topološkim mnogostrukostima. Racionalne Pontrjaginove klase su esencijalni sastojci indeksne teoreme na glatkim i topološkim mnogostrukostima. 1969: Mičel Ati je definisao apstraktne eliptične operatore na proizvoljnim metričkim prostorima. Apstraktni eliptični operatori su postali protagonisti u Kasparovoj teoriji i Konesovoj nekomutativnoj diferencijalnoj geometriji. 1971: Isador Zinger je predložio sveobuhvatni program za buduća proširenja indeksne teorije. 1972: Genadi Kasparov je objavio svoj rad o realizaciji K-homologije pomoću apstraktnih eliptičkih operatora. 1973: Ati, Bot i Raoul su dali novi dokaz indeksne teoreme koristeći jednačinu toplote, opisan u Melrozovoj knjizi. 1977: Salivan je uspostavio svoju teoremu o postojanju i jedinstvenosti Lipšicovih i kvazikonformalnih struktura na topološkim mnogostrukostima s dimenzijama različitim od 4. 1983: Gecler je motivisan idejama Vitena i Lisa Alvareza-Gauma, dao kratak dokaz lokalne indeksne teoreme za operatore koji su lokalni Dirakovi operatori; time su pokriveni mnogi korisni slučajevi. 1983: Teleman je dokazao da su analitički indeksi potpisnih operatora sa vrednostima u vektorskim svežnjevima topološke invarijante. 1984: Teleman je uspostavio indeksnu teoremu na topološkim mnogostrukostima. 1986: Kons je objavio svoju fundamentalnu publikaciju o nekomutativnoj geometriji. 1989: Donalsonova i Salivanova su objavili studiju Jang-Milsove teorije kvazikonformalnih mnogostrukosti dimenzije 4. Oni su uveli potpini operator -{S}- definisan na diferencijalnim formama drugog stepena. 1990: Kons i Moskovici su dokazali lokalnu indeksnu formulu u kontekstu nekomutativne geometrije. 1994: Kons, Salivan i Teleman su dokazali indeksnu teoremu za potpisne operatore na kvazikonformalnim mnogostrukostima.

Reference

Literatura

This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K-theory. An announcement of the index theorem. This gives a proof using K-theory instead of cohomology. This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology. This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family. . This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information. . This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex. and These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper. . ,

This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry. Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.

reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, . On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.

Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach

Free online textbook.

This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)

- Personal accounts on Atiyah, Bott, Hirzebruch and Singer.

Spoljašnje veze

Rafe Mazzeo: The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care. Pdf presentation.

Antony Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem

R. R. Seeley and other (1999) Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators - A partial transcript of informal post–dinner conversation during a symposium held in Roskilde, Denmark, in September 1998.

Категорија:Диференцијални оператори