thumbnail|Ovo je kategorija sa kolekcijom objekata -{A, B, C}- i kolekcijom morfizama označenih -{f, g, }-, a petlje su strelice identiteta. Ova kategorija se tipično označava podebljavanjem 3.
U matematici, kategorija (ponekad zvana apstraktna kategorija da bi se razlikovala od konkretne kategorijeAdámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. . (now free on-line edition).Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. , .) je kolekcija „objekata” koji su povezani „strelicama”. Kategorija ima dva osnovna svojstva: sposobnost asocijativnog sastavljanja strelica i postojanje strelice identiteta za svaki objekata. Jednostavni primer je kategorija skupova, čiji su objekti skupovi i čije su strelice funkcije.
Teorija kategorija je grana matematike koja nastoji da generalizuje svu matematiku u smislu kategorija, nezavisno od toga šta predstavljaju njihovi objekti i strelice. Skoro svaka grana savremene matematike može se opisati kategorijama i to često otkriva duboke uvide i sličnosti između naizgled različitih područja matematike. Kao takva, teorija kategorija pruža alternativnu osnovu za matematiku teorije skupova i druge predložene aksiomatske temelje. Generalno, objekti i strelice mogu biti apstraktni entiteti bilo koje vrste, a pojam kategorije pruža fundamentalan i apstraktan način za opisivanje matematičkih entiteta i njihovih odnosa.
Pored formalizacije matematike, teorija kategorija se takođe koristi za formalizaciju mnogih drugih sistema u računarskoj nauci, kao što je semantika programskih jezika.
Dve kategorije su iste ako imaju istu kolekciju objekata, istu kolekciju strelica i istu asocijativnu metodu sastavljanja bilo kojeg para strelica. Dve različite kategorije mogu se takođe smatrati „ekvivalentnim” za potrebe teorije kategorija, čak i ako nemaju potpuno istu strukturu.
Dobro poznate kategorije su označene kratkom rečju velikog početnog slova ili skraćenicom u zadebljanom ili kurzivnom formatu: primeri uključuju Skup, kategoriju skupova i funkcije skupova; Prsten, kategoriju prstenova i homomorfizme prstenova; i Top, kategoriju topoloških prostora i kontinuiranih mapa. Sve prethodne kategorije imaju identifikacijsku mapu kao strelice identiteta i kompoziciju kao asocijativnu operaciju na strelicama.
Klasičan i još uvek često korišten tekst u teoriji kategorija je Kategorije za radnog matematičara autora Sondersa Maka Lejna. Ostale reference su date ispod u navedenoj literaturi. Osnovne definicije u ovom članku su sadržane u prvih nekoliko poglavlja bilo koje od tih knjiga.
Bilo koja mnogostrukost se može shvatiti kao posebna vrsta kategorije (sa pojedinačnim objektom čiji su samomorfizmi predstavljeni elementima monoida), a to važi iz svaki preporedak.
Istorija Teorija kategorija se prvi put pojavila u članku sa naslovom „Opšta teorija prirodnih ekvivalencija”, koji su napisali Samjuel Ejlenberg i Sonders Mak Lejn 1945. godine
Definicija
Postoji mnogo ekvivalentnih definicija kategorije.-{Barr & Wells, Chapter 1.}- Jedna najčešće korišćena definicija je sledeća. Kategorija C se sastoji od
klase -{ob(C)}- objekata klase -{hom(C)}- morfizama, ili strelica, ili mapa, između objekata. Svaki morfizam -{f}- ima izvorni objekat -{a}- i ciljni objekat -{b}- pri čemu su -{a}- i -{b}- u -{ob(C)}-. Piše se -{f: a → b}-, i čita „-{f}- je morfizam od -{a}- do -{b}-”. Piše se -{hom(a, b)}- (ili -{homC(a, b}-) kad može da postoji konfuzija u pogledu toga na koju kategoriju -{hom(a, b)}- se odnosi) da bi se označila hom-klasa svih morfizama od -{a}- do -{b}-. (Neki autori umesto toga pišu -{Mor(a, b)}- ili jednostavno -{C(a, b)}-.) za svaka tri objekta -{a, b}- i -{c}-, binarna operacija -{hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c)}- se naziva kompozicija morfizama; kompozicija -{f : a → b}- i -{g : b → c}- se piše kao -{g ∘ f or gf}-. (Neki autori koriste „dijagramatski redosled”, pišući -{f;g}- ili -{fg}-.)
tako da važe sledeći aksiomi: (asocijativnost) ako -{f : a → b, g : b → c}- i -{h : c → d}- onda -{h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f}-, i (identitet) za svaki objekat x, postoji morfiuam 1x : x → x (neki autori pišu -{id}-x) zvani morfizam identiteta za x, tako da za svaki morfizam -{f : a → x}- i svaki morfizam -{g : x → b}-, važi -{1x ∘ f = f}- i -{g ∘ 1x = g}-.
Iz ovih aksioma se može dokazati da za svaki objekat postoji tačno jedan morfizam identiteta. Neki autori koriste malu varijaciju definicije u kojoj je svaki objekt identifikovan sa odgovarajućim morfizmom identiteta.
Reference
Literatura
(sada besplatno onlajn izdanje, -{GNU FDL}-). . . . . . . . . .
Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University. , draft of a book.
Based on .
Spoljašnje veze
-{Category - Encyclopedia of Math }-
*