Основна теорема алгебре (енгл. ), која се још назива и д’Аламберова теорема или д’Аламбер–Гаусова теорема, тврди да сваки неконстантан полином са једном променљивом и комплексним коефицијентима има бар један комплексан корен. Ово обухвата и полиноме са реалним коефицијентима, пошто је сваки реалан број комплексан број чији је имагинарни део једнак нули.
Еквивалентно (по дефиницији), теорема тврди да је поље комплексних бројева алгебарски затворено.
Теорема се такође може исказати на следећи начин: сваки ненулти полином са једном променљивом степена n са комплексним коефицијентима има, узети с вишеструкошћу, тачно n комплексних корена. Еквивалентност ова два тврђења се може доказати кроз узастопно полиномско дељење.
Упркос свом називу, теорема није фундаментална за модерну алгебру; названа је тако када је алгебра била синоним за теорију једначина.
Историја Петер Рот, у својој књизи Arithmetica Philosophica (објављеној 1608. у Нирнбергу, од стране Јохана Ланценбергера),Ретке књиге написао је да полиномска једначина степена n (са реалним коефицијентима) може имати n решења. Албер Жирар, у својој књизи L'invention nouvelle en l'Algèbre (објављеној 1629.), тврдио је да полиномска једначина степена n има n решења, али није навео да она морају бити реални бројеви. Даље, додао је да његова тврдња важи „осим ако једначина није непотпуна“, где „непотпуна“ значи да је бар један коефицијент једнак нули. Међутим, када детаљно објашњава шта мисли, јасно је да он заправо верује да његова тврдња увек важи; на пример, показује да једначина иако непотпуна, има четири решења (рачунајући вишеструкост): 1 (два пута), и
Као што ће се поновити касније, из основне теореме алгебре следи да се сваки неконстантан полином са реалним коефицијентима може записати као производ полинома са реалним коефицијентима чији су степени или 1 или 2. Међутим, 1702. године Лајбниц је погрешно рекао да се ниједан полином облика (са реалним и различитим од 0) не може записати на такав начин. Касније је Никола Бернули изнео исту тврдњу за полином , али је добио писмо од Ојлера 1742.Погледајте одељак „Le rôle d'Euler“ у чланку „Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral“ К. Жилена. у коме је показано да је овај полином једнак
са Ојлер је такође истакао да је
Први покушај доказа теореме извршио је д’Аламбер 1746., али је његов доказ био непотпуни. Међу другим проблемима, имплицитно је претпостављао теорему (сада познату као Пицоова теорема), која није доказана до више од века касније и коришћењем основне теореме алгебре. Друге покушаје су извели Ојлер (1749), де Фонсне (1759), Лагранж (1772) и Лаплас (1795). Ова четири покушаја имплицитно су претпоставила Жирарову тврдњу; тачније, постојање решења је претпостављено и све што је преостало да се докаже је да је њихов облик a + bi за неке реалне бројеве a и b. У модерним терминима, Ојлер, де Фонсне, Лагранж и Лаплас су претпоставили постојање расколног поља полинома p(z).
Крајем 18. века, објављена су два нова доказа која нису претпостављала постојање корена, али ни једно није било потпуно. Један од њих, који је припремио Џејмс Вуд и углавном је алгебарски, објављен је 1798. и потпуно је занемарен. Вудов доказ је имао алгебарску празнину.О Вудовом доказу погледајте чланак „A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra“ Френка Смитиса. Други је објавио Гаус 1799. и углавном је био геометријски, али је имао тополошку празнину, коју је попунио Александар Островски тек 1920, као што је расправљено у Смејловом раду (1981). Смејл пише: „...Желим да укажем на то колико је велика празнина Гаусов доказ садржао. То је и данас суптилна тачка да права алгебарска раванска крива не може ући у диск а да не изађе. У ствари, иако је Гаус поновио овај доказ 50 година касније, празнина је остала. Тек 1920. године Гаусов доказ је завршен. У референци Гаус, А. Островски има рад који то ради и даје одличну дискусију о проблему као и...“
Први ригорозни доказ објавио је Арган, математичар аматер, 1806. (и поново 1813.); овде је, по први пут, основна теорема алгебре изречена за полиноме са комплексним коефицијентима, а не само са реалним. Гаус је дао још два доказа 1816. и још једну непотпуну верзију свог оригиналног доказа 1849.
Први уџбеник који је садржао доказ теореме био је Кошијева „Курс анализе Краљевске политехничке школе“ (1821). Садржао је Арганов доказ, иако Арган није поменут.
Ниједан од до сада поменутих доказа није конструктиван. Вајерштрас је средином 19. века први пут поставио проблем проналажења конструктивног доказа основне теореме алгебре. Представио је своје решење, које се у савременим терминима своди на комбинацију Дуранд–Кернеровог метода са принципом хомотопске континуације, 1891. Још један доказ ове врсте добио је Хелмут Кнезер 1940, а поједноставио га је његов син Мартин Кнезер 1981.
Без коришћења изборног аксиома, није могуће конструктивно доказати основну теорему алгебре за комплексне бројеве на основу Дедекиндових реалних бројева (који конструктивно нису еквивалентни Кошијевим реалним бројевима без аксиома избора).За минимално неопходно за доказ њихове еквивалентности, погледајте Bridges, Schuster, and Richman; 1998; A weak countable choice principle; доступно са . Међутим, Фред Ричман је доказао реформулисану верзију теореме која функционише.Види Fred Richman; 1998; The fundamental theorem of algebra: a constructive development without choice; доступно са .
Еквивалентне формулације Постоји неколико еквивалентних формулација теореме: Сваки унарни полином позитивног степена са реалним коефицијентима има бар један комплексан корен. Сваки унарни полином позитивног степена са комплексним коефицијентима има бар један комплексан корен. Ово непосредно имплицира претходно тврђење, пошто су реални бројеви такође комплексни бројеви. Обрнуто следи из чињенице да се производ полинома и његовог комплексног конјугата (који се добија заменом сваког коефицијента његовим комплексним конјугатом) добија полином са реалним коефицијентима. Корен овог производа је или корен датог полинома или његовог конјугата; у другом случају, конјугат овог корена је корен датог полинома. Сваки унарни полином позитивног степена са комплексним коефицијентима се може факторизовати као где су комплексни бројеви. Бројеви су корени полинома. Ако се корен јавља у више фактора, он је вишеструки корен, а број његовог појављивања је, по дефиницији, вишеструкост корена. Доказ да ова тврдња следи из претходних врши се рекурзијом на : када се корен нађе, полиномска деоба са даје полином степена чији су корени остали корени датог полинома.
Следећа два тврђења еквивалентна су претходнима, иако не укључују ниједан нереалан комплексни број. Ова тврђења се могу доказати из претходних факторизација уочавајући да, ако је нереалан корен полинома са реалним коефицијентима, његов комплексни конјугат је такође корен, и је полином другог степена са реалним коефицијентима (ово је теорема о комплексним корењима). Обрнуто, ако имамо фактор другог степена, квадратна формула даје комплексан корен. Сваки унарни полином са реалним коефицијентима степена већег од два има фактор другог степена са реалним коефицијентима. Сваки унарни полином са реалним коефицијентима позитивног степена може се факторизовати као где је реалан број и сваки је моничан полином степена највише два са реалним коефицијентима. Штавише, може се претпоставити да фактори другог степена немају ниједан реалан корен.
Докази Сви докази испод укључују неку математичку анализу, или барем тополошки појам непрекидности реалних или комплексних функција. Неки такође користе изводљиве или чак аналитичке функције. Овај захтев је довео до примедбе да основна теорема алгебре није ни фундаментална ни теорема алгебре.
Неки докази теореме доказују само да сваки полином са реалним коефицијентима има неки сложени корен. Ова лема је довољна да успостави општи случај јер, с обзиром на неконстантан полином са комплексним коефицијентима, полином
има само реалне коефицијенте и, ако је корен од , онда је или или његов конјугат корен од . Овде, је полином добијен заменом сваког коефицијента од његовим комплексним конјугатом; корени од су управо комплексни конјугати корена од .
Многи неалгебарски докази теореме користе чињеницу (која се понекад назива „лемом раста“) да се полиномијална функција p(z) степена n чији је водећи коефицијент 1 понаша као zn када је |z| довољно велико. Прецизније, постоји неки позитиван реални број R такав да
када |z| > R.
Реално-аналитички докази Чак и без коришћења комплексних бројева, могуће је показати да се полином са реалним вредностима p(x): p(0) ≠ 0 степена n > 2 увек може поделити неким квадратним полиномом са реалним коефицијентима. Другим речима, за неке реалне вредности a и b, коефицијенти линеарног остатка при дељењу p(x) са x2 − ax − b истовремено постају нула.
где је q(x) полином степена n − 2. Коефицијенти Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) су независни од x и у потпуности су одређени коефицијентима p(x). У смислу репрезентације, Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) су биваријативни полиноми у a и b. У стилу првог (непотпуног) Гаусовог доказа ове теореме из 1799., кључно је показати да за сваку довољно велику негативну вредност од b, сви корени и Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) у променљивој a су реални и наизменични (особина уметања). Коришћењем Штурмовог ланца који садржи Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) као узастопне чланове, уметање у променљивој a се може показати за све узастопне парове у ланцу кад год b има довољно велику негативну вредност. Пошто Sp(a, b = 0) = p(0) нема коренова, уметање Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) у променљивој a не успева при b = 0. Тополошки аргументи се могу применити на особину уметања да би се показало да се локуси корена Rp(x)(a, b) и Sp(x)(a, b) морају пресећи за неке реалне вредности a и b < 0.
Комплексно-аналитички докази Пронађите затворен диск D полупречника r са центром у координатном почетку тако да |p(z)| > |p(0)| кад год |z| ≥ r. Минимум |p(z)| на D, који мора постојати пошто је D компактан, стога се достиже у некој тачки z0 у унутрашњости D, али не ни у једној тачки његове границе. Принцип максималног модула примењен на 1/p(z) имплицира да је p(z0) = 0. Другим речима, z0 је нула од p(z).
Варијација овог доказа не захтева принцип максималног модула (у ствари, сличан аргумент такође даје доказ принципа максималног модула за холоморфне функције). Настављајући од пре примене принципа, ако је a := p(z0) ≠ 0, онда, проширујући p(z) у степима од z − z0, можемо написати
Овде, cj су једноставно коефицијенти полинома z → p(z + z0) након ширења, а k је индекс првог коефицијента различитог од нуле након константног члана. За z довољно близу z0 ова функција се асимптотски понаша слично једноставнијем полиному . Прецизније, функција
за неку позитивну константу M у неком суседству од z0. Према томе, ако дефинишемо и нека је пратећи круг полупречника r > 0 око z, онда за сваки довољно мали r (тако да граница M важи), видимо да
Када је r довољно близу 0, ова горња граница за |p(z)| је строго мања од |a|, што је у супротности са дефиницијом z0. Геометријски, пронашли смо експлицитан правац θ0 такав да ако се приђе z0 из тог правца, може се добити p(z) који је по апсолутној вредности мањи од |p(z0)|.
Још један аналитички доказ може се добити дуж ове линије размишљања уочавајући да, пошто |p(z)| > |p(0)| изван D, минимум |p(z)| на целој комплексној равни се достиже у z0. Ако |p(z0)| > 0, онда је 1/p ограничена холоморфна функција у целој комплексној равни јер, за сваки комплексни број z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|. Применом Лувилове теореме, која тврди да ограничена цела функција мора бити константа, ово би имплицирало да је 1/p константа и да је стога p константа. Ово доводи до контрадикције, и отуда је p(z0) = 0.