У математици, линеарно пресликавање (такође линеарна трансформација или линеарни оператор) је функција између два векторска простора, која очувава операције сабирања вектора и скаларног множења. Израз линеарна трансформација се често користи, посебно за линеарна пресликавање из неког векторског простора у самог себе (ендоморфизми).
У језику апстрактне алгебре, линеарно пресликавање је хомоморфизам векторских простора, или морфизам у категорији векторских простора над датим пољем.
Дефиниција и директне последице Нека су -{V}- и -{W}- векторски простори над истим пољем -{K}-. Функција -{f : V → W}- је линеарно пресликавање ако за свака два вектора -{x}- и -{y}- из -{V}- и сваки скалар -{a}- из -{K}-, важе следећа два услова:
адитивностхомогеност
Ово је еквивалентно захтеву да за све векторе -{x1, ..., xm}- и скаларе -{a1, ..., am}-, важи једнакост
Понекад може да се узме да су -{V}- и -{W}- векторски простори над различитим пољима. Тада је неопходно одредити које од ових поља се узима у дефиницији линеарности. Ако су -{V}- и -{W}- векторски простори над пољем -{K}- као у горњем случају, ради се о -{K}--линеарним пресликавањима. На пример конјугација комплексних бројева је -{R}--линеарно пресликавање -{C → C}-, али није -{C}--линеарно.
ЛИнеарно пресликавање из -{V}- у -{K}- (где се -{K}- посматра као векторски простор над самим собом) се назива линеарни функционал.
Из дефиниције директно следи да је -{f(0) = 0}-. Стога се линеарна пресликавања понекад називају хомогеним линеарним пресликавањима (види: линеарна функција).
Примери Идентитета и нула-пресликавање су линеарни.
За реалне бројеве, пресликавање није линеарно.
За реалне бројеве, пресликавање није линеарно.
Ако је -{A}- -{m × n}- матрица, онда -{A}- дефинише линеарно пресликавање из -{Rn}- у -{Rm}- тако што шаље вектор колона -{x ∈ Rn}- у вектор колона -{Ax ∈ Rm}-. Обратно, свако линеарно пресликавање између коначно-димензионих векторских простора се може представити на овај начин.
Интеграл даје линеарно пресликавање из простора свих интеграбилних функција реалне вредности на неком интервалу у -{R}-
Диференцирање је линеарно пресликавање из простора свих диференцијабилних функција у простор свих функција.
Литература
, McGraw-Hill.
Категорија:Функције и пресликавања Категорија:Апстрактна алгебра Категорија:Линеарна алгебра