мини|усправно=1.2|Прототип свих L-функција: Риманова зета-функција у комплексној равни. Нулта тачка, односно координатни почетак комплексне равни, налази се тачно у средини дијаграма. Различите боје кодирају различита аргумента комплексних вредности функције. Светли тонови показују вредности функције са великом апсолутном вредношћу, док тамни тонови означавају ниску вредност, близу нуле. L-функције се истражују у аналитичкој теорији бројева и сродним математичким областима. Прототипски пример L-функције је Риманова зета-функција. L-функције деле фундаменталне особине са Римановом зета-функцијом, те представљају њене генерализације.
Теорија L-функција постала је веома значајан, и још увек у великој мери конјектуралан, део савремене аналитичке теорије бројева. У оквиру ове теорије, конструишу се широке генерализације Риманове зета-функције и L-редова за Дирихлеов карактер, а њихова општа својства, у већини случајева још увек ван домашаја доказа, систематски се излажу. Због формуле Ојлеровог производа, постоји дубока веза између L-функција и теорије простих бројева.
Фундаменталне особине које L-функције деле са Римановом зета-функцијом укључују: У одређеном делу комплексне равни, L-функција се поклапа са Дирихлеовим редом и Ојлеровим производом, који обоје апсолутно конвергирају. L-функција, која је првобитно дефинисана само у том делу равни, може се аналитички наставити у мероморфну функцију на целој комплексној равни. Настављена L-функција задовољава функционалну једначину одређеног типа.
На основу темељних радова Леонарда Ојлера (1707–1783) на функцији која се данас назива Риманова зета-функција, математичари Бернхард Риман (1826–1866), Петер Густав Дирихле (1805–1859), Рихард Дедекинд (1831–1916), Ерих Хеке (1887–1947) и Емил Артин (1898–1962) истраживали су основне подкласе L-функција, које данас носе њихова имена.
Истраживање у циљу проналажења опште и јединствене дефиниције појма „L-функција”, која би омогућила доказивање жељених и делимично још недоказаних својстава, још увек није завршено. Штавише, један од важних циљева аналитичке теорије бројева јесте да се разјасни најсмисленија дефиниција овог појма. У том правцу, Атле Селберг (1917–2007) је 1989. године предложио аксиоматску дефиницију класе свих L-функција, која данас носи назив „Селбергова класа”.. Такође у: Collected Papers, Vol. II, Springer, 1991, стр. 47–63. Да ли овај или други предлози дефиниције већ обухватају сва пожељна својства L-функција и искључују непожељна, још увек није коначно разјашњено. Математичке претпоставке (тј. недоказане, али сматране вероватним или пожељним изјаве о својствима L-функција) и даље обликују теорију L-функција, која стога остаје област интензивних математичких истраживања.
Појмови „L-функција” и „зета-функција” се често користе синонимно. Ипак, не спадају све математичке функције чији назив садржи појам „зета-функција” у L-функције. На пример, примзета-функција не спада у L-функције, јер се не може аналитички наставити на целу комплексну раван.
Дефиниција Као што је поменуто у уводу, још увек не постоји општа, јединствена и широко прихваћена дефиниција појма „L-функција”. Наредни приступ дефиницији следи онај који су дали математичари Хенрик Ивањец и Емануел Ковалски у свом уџбенику о аналитичкој теорији бројева. Овај приступ је местимично апстрактан и непотпун у смислу да не прецизира „аритметичке објекте” којима додељује „L-функцију”, као ни тачан механизам те доделе. Међутим, он обухвата својства која се генерално очекују од L-функција и омогућава објашњење кључних карактеристика ових функција. Такође, уводе се и други основни појмови теорије L-функција.
Нека је — у оквиру ове апстрактне дефиниције неспецификован — аритметички објекат, нпр. Дирихлеов карактер или алгебарски бројни поље. Овом аритметичком објекту придружена је функција , која пресликава комплексне аргументе у комплексне вредности. Ивањец и Ковалски називају такву функцију L-функцијом ако су објекту придружени следећи математички објекти (видети Д-1 до Д-6) који испуњавају наведене услове (видети У-1 до У-9):
Д-1 Дирихлеов ред и Ојлеров производ: Аритметичком објекту придружени су Дирихлеов ред, који се назива и L-ред, , и Ојлеров производ: . Притом је за све природне бројеве и . симболизује скуп свих простих бројева. Природан број назива се степен Ојлеровог производа или степен L-функције . За сваки прост број и свако , . Комплексни бројеви називају се локални корени или локални параметри од у . За дато , израз , тј. -ти фактор у Ојлеровом производу, назива се Ојлеров фактор од у .
Д-2 Гама-фактор: Објекту је такође придружен гама-фактор
где је гама-функција, број пи, а горе поменути степен L-функције. Параметри су комплексни бројеви. Они се називају локални параметри од у бесконачности или на бесконачној простој тачки.
Д-3 Кондуктор: Објекту је такође придружен природан број , који се назива кондуктор (водич) од . Прости бројеви који не деле називају се неразгранати у односу на .
Д-4 Комплетирана L-функција: Помоћу Дирихлеовог реда, гама-фактора и кондуктора који су придружени , дефинише се комплетирана L-функција од :
Д-5 Коренски број: Објекту је такође придружен комплексан број
који се назива коренски број од .
Д-6 Дуални аритметички објекат: На крају, је придружен још један аритметички објекат, који у оквиру ове апстрактне дефиниције није ближе специфициран. Он се назива дуал од и означава са . Као и у случају , и су придружени Дирихлеов ред, Ојлеров производ, гама-фактор, кондуктор и комплетирана L-функција. Ако је , онда се назива самодуалном, што значи да је за све .
Наведени објекти придружени аритметичком објекту морају задовољити следеће услове да би била L-функција према Ивањецу и Ковалском: У-1: Апсолутна вредност локалних параметара у : За сваки прост број и свако важи . У-2: Вредности локалних параметара за неразгранато : За све просте бројеве који су неразгранати у односу на , и за свако , важи . У-3: Захтеви за локалне параметре у бесконачности: Параметри су или реални или се појављују у комплексно коњугованим паровима у гама-фактору . Такође, за свако . Овај последњи услов осигурава да нема нула у и нема полова са . означава реални део комплексног броја. У-4: Апсолутна конвергенција Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа: И Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени , апсолутно конвергирају за . У-5: Подударност L-функције, Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа у комплексној полуравни: L-функција, Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени , поклапају се у комплексној полуравни :
У-6: Аналитички наставак и полови: Из услова које мора задовољити Дирихлеов ред придружен следи холоморфност комплетиране L-функције у полуравни . Међутим, она мора имати и аналитички наставак у мероморфну функцију реда 1 на целом , која има полове највише у и . У-7: Апсолутна вредност коренског броја: Коренски број има апсолутну вредност 1. Дакле: . У-8: Захтеви за објекте придружене дуалу од : Што се тиче дуала од , мора важити: за све , као и и . То значи: у Дирихлеовом реду придруженом , -коефицијенти су комплексно коњуговани бројеви -коефицијената у Дирихлеовом реду придруженом . Гама-фактори и кондуктори придружени и се поклапају. У-9: Функционална једначина: Две комплетиране L-функције, придружене и , задовољавају функционалну једначину
за све .
мини|усправно|Атле Селберг (1917–2007) Дефиниција Ивањеца и Ковалског одражава чињеницу да се функција која се сматра L-функцијом обично појављује као придруживање L-функције неком математичком објекту (нпр. Дирихлеов карактер, алгебарско поље бројева). Њихов приступ је апстрактан и непотпун јер оставља отвореним питање шта су тачно ти математички објекти и како се то придруживање врши.
Без позивања на друге математичке објекте, приступ норвешко-америчког математичара Атле Селберга из 1989. године је другачији. У неапстрактној, јединственој дефиницији, он специфицира подскуп скупа свих Дирихлеових редова чији елементи морају задовољити одређена својства: апсолутна конвергенција, аналитички наставак, функционална једначина, Рамануџанова претпоставка и Ојлеров производ. Овај подскуп се данас назива Селберговом класом.
Најважнија хипотеза и мотивациони оквир за дефиницију Селбергове класе је такозвана Велика Риманова хипотеза. Примењена на Селбергову класу, ова хипотеза тврди: ниједна нула аналитичког наставка Дирихлеовог реда у Селберговој класи нема реални део већи од 1/2. Ова хипотеза одговара, у случају (вероватно) најједноставнијег елемента Селбергове класе (Риманов Дирихлеов ред и његов аналитички наставак у Риманову зета-функцију), Римановој хипотези, која до данас није ни доказана ни оборена. Велика Риманова хипотеза до сада није доказана нити оборена ни за један елемент Селбергове класе.
У том светлу треба посматрати и постојеће недостатке у дефиницији појма „L-функција”: жеља је да се појам „L-функција” дефинише тако да L-функције доказиво задовољавају Велику Риманову хипотезу — с друге стране, до сада није било могуће доказати ни најједноставнији случај (Риманова хипотеза за Риманову зета-функцију), што може бити знак недостатка разумевања Риманове зета-функције и тиме отежава јединствену дефиницију генерализујућег појма „L-функција”. Примери L-функција
Овај одељак даје преглед основних примера L-функција.
Риманова зета-функција
мини|Бернхард Риман (1826–1866) Најједноставнији пример L-функције и истовремено полазна тачка за сваку дефиницију појма „L-функција” је Риманова зета-функција . Један од могућих „аритметичких објеката” у смислу дефиниционог приступа Ивањеца и Ковалског, коме се ова L-функција може придружити, јесте поље рационалних бројева. Њена Дирихлеова редна вредност
дакле
за све , конвергира за апсолутно. Заједно са својим такође апсолутно конвергентним Ојлеровим производом важи за :Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Satz 1.1, 1992, S. 439.
мини|Риманова зета-функција : Контурне линије Realteil((s))=0, плава, и Imaginärteil((s))=0, љубичаста, за −5<Re(s)<3 и −25<Im(s)<65, као и „критична линија” Re(s)=1/2, браон. За Re(s)<1, пресеци плавих и љубичастих контурних линија су нуле Риманове зета-функције. Пошто су сви реални, наиме једнаки 1, је самодуална. Дуални објекат од је дакле такође , те је . Степен Ојлеровог производа Риманове зета-функције је . За њене локалне параметре у важи:
за све . Обично се за Риманову зета-функцију користи следећи гама-фактор:
Локални параметар у бесконачности је дакле 0. Кондуктор од је , тако да комплетирана Риманова зета-функција има облик
Ова дефиниција је важећа само за , пошто се само у тој полуравни Риманова зета-функција може дефинисати преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа. Међутим, комплетирана Риманова зета-функција има аналитички наставак у мероморфну функцију на целој комплексној равни. Овај наставак је холоморфан осим у две једноставне полне тачке у и са резидумима -1 односно 1.Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445. Ако се и настављена, комплетирана Риманова зета-функција означи са , онда она задовољава са коренским бројем
функционалну једначину
Тиме и Риманова зета-функција, која је првобитно дефинисана само за преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа, има аналитички наставак у мероморфну функцију на , која једино у није дефинисана, јер тамо има прост пол са резидуумом 1. Ако се задржи ознака и за настављену Риманову зета-функцију, она задовољава функционалну једначинуNeukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Korollar 1.7, 1992, S. 446.
(Аналитички настављена) Риманова зета-функција крије једно од најважнијих питања аналитичке теорије бројева, а то је питање тачне локације њених такозваних нетривијалних нула. Оне се налазе у критичном појасу . Риманова хипотеза из 1859. године — до данас ни доказана нити оповргнута — поставља тезу да све нетривијалне нуле Риманове зета-функције имају реални део 1/2. Доказ ове хипотезе омогућио би посебно добре процене о расподели простих бројева.
Дирихлеове L-функције