Квадратни закон реципроцитета, понекад називан и Гаусов закон реципроцитета, основни је закон из теорије бројева, потпоља математике. Бави се питањем да ли за непаран прост број и цео број, који није дељив са њим, постоји квадратни број , тако да је разлика дељива са . Тачније, заједно са два допунска става наведена у наставку, даје поступак за одлучивање да ли је број квадратни остатак или неостатак простог броја. Откриће квадратног закона реципроцитета од стране Леонарда Ојлера и доказ од стране Гауса (Disquisitiones Arithmeticae 1801, иако је доказ имао већ 1796) били су полазне тачке за развој модерне алгебарске теорије бројева.
Да би се разумела тачна изјава квадратног закона реципроцитета, потребни су само концепти квадратних бројева, простих бројева и дељивости целих бројева са остатком. Његова формулација почиње избором два непарна, неједнака проста броја и , на пример и . У центру је следеће питање: Да ли постоји квадратни број , тако да дели разлику ? (Са горњим примерима: Да ли је број за неки квадратни број дељив са ?). Унутар овог питања, два проста броја и имају различите улоге ( је „делилац“, а је „суптрахенд“). Реч „реципроцитет“ (од „реципрочан“, дакле узајаман) сада указује на то да се исто питање може поставити и са замењеним улогама оба проста броја: Да ли, дакле, постоји (други) квадратни број , тако да опет дели разлику ? Квадратни закон реципроцитета формулише једноставно правило које повезује решивост ова два задатка, која настају заменом улога оба проста броја. Разликује се: Ако барем један од два проста броја и при дељењу са даје остатак , онда је једно питање тачно тада одговориво са „Да“, када је и друго. На пример, при дељењу са даје остатак . Са изборима , и добија се и , при чему је први дељив са , а други са (пошто је ). Дакле, у случају и , питање се може узајамно одговорити са „Да“, како предвиђа закон реципроцитета. Насупрот томе, не постоје квадратни бројеви и , тако да је дељив са , а дељив са . Ако, међутим, оба проста броја и при дељењу са дају остатак , онда је увек тачно једно од питања одговориво са „Да“. Пример и : је дељив са , али не постоји квадратни број тако да је дељив са . И и при дељењу са дају остатак .
У терминима Лежандровог симбола, овај однос за непарне просте бројеве изражава се као
Квадратни закон реципроцитета је из математичке перспективе занимљив, између осталог, јер успоставља везу између наизглед различитих питања. То доводи до тога да се решење једног понекад врло тешког задатка може свести на решавање лаког задатка, због чега је користан за конкретне прорачуне. Бројне примене налази у теорији бројева, теорији диофантских једначина, али и у практичним областима попут криптографије.
Сам Гаус је представио осам методички различитих доказа за квадратни закон реципроцитета. Пошто је значај резултата већ препознао као изузетно висок, свој резултат је назвао „фундаменталном теоремом“ односно „Theorema aureum“ (српски: „Златни став“). Назив „закон реципроцитета“ потиче од Адријена-Мари Лежандра, који је 1785. године дао непотпун доказ. Каснији (потпуни) докази потичу, између осталих, од Готхолда Ајзенштајна, Петера Густава Лежена Дирихлеа, Рихарда Дедекинда и Јегора Ивановича Золотарјова. До данас је објављено више од 300 различитих доказа. Упркос елементарним доказима, суштина „реципроцитета“, како је Гаус већ претпостављао, лежи релативно дубоко, наиме у растављању на просте чиниоце у циклотомичним пољима.
Квадратни закон реципроцитета даје изјаве о решивости квадратних једначина у модуларној аритметици. Питање решивости једначина вишег степена води ка вишим законима реципроцитета, што је била једна од покретачких снага алгебарске теорије бројева од Гауса. Случај трећег степена, кубни закон реципроцитета, обрадио је Готхолд Ајзенштајн, случај четвртог степена Гаус, при чему је, међутим, Карл Густав Јакоби дао први потпуни доказ. Модерна, много дубља генерализација налази се у основама теорије поља класа.
Питање и основе
Квадратни закон реципроцитета мотивисан је задатком брзог одлучивања о решивости квадратних конгруенција. У случају простих бројева, ово одговара квадратној једначини над коначним пољем. За тачно разумевање његове изјаве, сажете су следеће основе.
Коначна поља
У математици, поље означава скуп унутар којег се, једноставно речено, може рачунати са четири основне рачунске операције. Притом треба да важе правила позната из школске математике о комутативности (заменљивост код „плус“ и „пута“), асоцијативности (заменљивост заграда код „само плус“ или „само пута“) и дистрибутивности („извлачење заграде“ и „множење заграде“). Осим тога, елементи (неутрални елемент сабирања) и (неутрални елемент множења) увек морају бити део поља. Посебно, треба да буде могуће делити сваким бројем различитим од . Важни примери су поље реалних бројева (ознака: ) или поље рационалних бројева (ознака: ).
Важан захтев је да ниједна од дозвољених рачунских операција не доводи до напуштања скупа бројева који дефинише поље. Тако, на пример, у пољима генерално није дозвољено вадити квадратни корен. Број је елемент од , кратко , али је ирационалан број, дакле . Слично, нема квадратни корен у реалним бројевима. У основи, концепт квадратног корена у пољу је индиректно дефинисан, јер је обрнута операција, наиме множење броја са самим собом, дефинисана у пољима, при чему је постојање друго питање.
Питање из алгебре је како поља могу изгледати, односно у којим типовима скупова је могуће „затворено рачунање“. Тако се могу додати други нерационални бројеви у како би се конструисала већа поља. Пример је поље , које се састоји од свих бројева облика са (види такође: поље бројева, и на пример квадратно поље бројева).Петер Бундшух: . 6. издање, Springer, Рачунице као
су прототипови затворености четири основне рачунске операције у . , заједно са и , је још један пример поља са бесконачно много елемената. Значајно је, међутим, да постоје и поља са само коначно много елемената. Рачунање у овим областима, иако су закони на крају исти, одступа од „класичне интуиције“. То почиње тиме што елементиНеутрални елементи сабирања и множења у општим пољима и даље се најчешће означавају са и . Сходно томе, могу се поново користити називи итд. помоћу арапских цифара, иако се рачунање у другим пољима у неким случајевима разликује од оног у реалним бројевима. Строго говорећи, требало би користити нотације као што су да би се објаснила припадност пољу .
не могу сви бити различити, јер има само коначно много елемената. Пошто се увек има (иначе би било , а тај тривијални случај се искључује), постоји најмањи природни број , такав да
у први пут буде испуњено.Пошто у пољу постоји само коначно много елемената, у неком тренутку долази до тога да је низ подложан неком понављању. На пример, могло би важити . Пошто је у пољима дозвољено и одузимање, следило би . Овај показатељ се назива карактеристика поља , дакле . Она је увек прост број,Зигфрид Бош: . Springer Spektrum, 8. издање, јер ако би на пример било сложено, онда би морало бити , и већ би било или , дакле , што би директно противречило претпоставци због минималности карактеристике. Да би се тачно разумело рачунање у коначним пољима, неопходно је баратање са остацима при дељењу. Нетривијални остаци настају код дељења која се не завршавају без остатка. На пример, подељено са је са остатком . У најједноставнијим примерима коначних поља, рачуна се управо са тим остацима. Ово се може демонстрирати на примеру: Постоји тачно пет могућих остатака при дељењу са , и они одговарају
са скуп целих бројева, и (тј. сви цели вишекратници броја ). Притом, надвлаке значе да се сви бројеви који при дељењу са дају одговарајући остатак посматрају заједно или груписано. На пример,
састоји се тачно од оних бројева који при дељењу са имају остатак . Бројеви од до су даље само репрезентанти целе класе остатака,Фридрих Ишебек: на пример, важе једнакости
Одговарајући репрезентанти дају при дељењу са сви исти остатак и тако припадају истој класи остатака. Тиме се види да адитивни вишекратници од у овом примеру за припадност истој класи остатака увек не играју улогу. Другим речима: док је цео број увек потпуно одређен својом величином, класе остатака су редуковани бројеви. Само је остатак одлучујући, а не више величина.
Са класама остатака модуло сада се може рачунати са четири основне рачунске операције. Притом важе у основи иста правила као код рачунања у целим бројевима : На пример, (Значење: Збир два било која броја са остатком при дељењу са увек има остатак при дељењу са , на пример или .) (Значење: Разлика два било која броја са истим остатком, на пример , при дељењу са , је увек дељива са , дакле има остатак .) (Значење: Производ два било која броја са остатком односно при дељењу са увек има остатак при дељењу са , на пример или ) Важно је на овом месту показати да је ово добро дефинисано, дакле да се при избору других репрезената увек добија исти резултат. Пошто је разлика два репрезентанта увек дељива са , то је очигледно: На пример, (упореди горњи пример)
али и
Сасвим слична разматрања важе и за добро дефинисаност множења. И дељење је унутар могуће (ако се искључи), јер да би се уопштено могло делити, за свако је потребна само егзистенција инверза са
(као на пример и у случају рационалних бројева). За доказ да увек постоји инверз, одлучујуће је да је прост број: Ако прост број дели производ два цела броја, онда већ мора делити барем један од фактора. Када се ово има, аргументација је следећа: За елемент , који се жели инвертовати, посматрају се сви могући вишекратници (различити од нуле):
Класа остатака се не појављује у овој листи, јер ниједан од бројева није дељив са .Ниједан од бројева и није дељив са . Према претпоставци, није дељив са , јер . Пошто је прост број, ниједан од производа није дељив са . Даље, сви уноси у листи су парно различити, јер је еквивалентно томе да је , дакле . Пошто није дељив са , мора бити дељив са . Разлика лежи, према избору горњих репрезената , у интервалу , а само је ту дељив са . Дакле, . Мора се дакле класа остатака појавити негде у горњој листи и инверз је пронађен.Пошто су четири елемента сви различити, а као листа садрже само елементе из , мора и елемент бити присутан. На пример, је инверз од модуло , јер је . преузима улогу „броја “ у . Пошто се у суштини „и даље рачуна у целим бројевима“, остају очувани комутативни закон, асоцијативни закон и дистрибутивни закон, чиме скуп класа остатака заиста формира поље.
Цела ова аргументација се не ограничава на прост број , већ се за сваки прост број може навести одговарајуће коначно поље:
итд. Притом, класе остатака означене надвлакама морају се, наравно, увек примењивати на дотични прост број.Јирген Нојкирх: Springer-Verlag, Берлин/Хајделберг
Модуларна аритметика
Модуларна аритметика у суштини означава рачунање са класама остатака и с тим повезане области, као што су једначине. За природни број , „модул“,Михаел Х. Мертенс: два цела броја и се називају конгруентним модуло , ако дели њихову разлику, дакле у ознакама
У овом случају, конгруенција се пише и као
читано као: „ конгруентно модуло “. На пример, важи