У математици, Фубини-Штудијева метрика је Келерова метрика на комплексном пројективном простору CPn снабдевеном Ермитском формом. Ову метрику су првобитно описали 1904. и 1905. године Гвидо Фубини и Едуард Штуди.G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forma Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 63 pp. 501–513
Ермитска форма у (векторском простору) Cn+1 дефинише унитарну подгрупу U(n+1) у GL(n+1,C). Фубини-Штудијева метрика је одређена до на хомотетију (укупно скалирање) инваријантношћу под таквим дејством групе U(n+1); стога је она хомогена. Снабдевен Фубини-Штудијевом метриком, CPn је симетрични простор. Конкретна нормализација метрике зависи од примене. У Римановој геометрији, користи се нормализација тако да се Фубини-Штудијева метрика једноставно односи на стандардну метрику на (2n+1)-сфери. У алгебарској геометрији, користи се нормализација која чини CPn Хоџовом многострукошћу.
Конструкција Фубини-Штудијева метрика се природно појављује у конструкцији количничког простора комплексног пројективног простора.
Конкретно, CPn се може дефинисати као простор који се састоји од свих комплексних линија у Cn+1, тј. количник Cn+1\{0} према релацији еквиваленције која повезује све комплексне умношке сваке тачке заједно. Ово се слаже са количником према дијагоналном дејству групе мултипликативне групе C* = C \ {0}:
Овај количник реализује Cn+1\{0} као комплексно линијско раслојење над базним простором CPn. (Заправо, ово је таутолошко раслојење над CPn.) Тачка у CPn се стога идентификује са класом еквиваленције (n+1)-торки [Z0,...,Zn] по модулу комплексног рескалирања које није нула; Zi се називају хомогене координате тачке.
Штавише, ово пресликавање количника може се реализовати у два корака: пошто се множење комплексним скаларом који није нула z = R eiθ може јединствено посматрати као композиција дилатације модулом R праћене ротацијом супротно од казаљке на сату око координатног почетка за угао , пресликавање количника Cn+1 → CPn се дели на два дела.
где је корак (a) количник по дилатацији Z ~ RZ за R ∈ R+, мултипликативну групу позитивних реалних бројева, а корак (b) је количник по ротацијама Z ~ eiθZ.
Резултат количника у (a) је реална хиперсфера S2n+1 дефинисана једначином |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1. Количник у (b) реализује CPn = S2n+1/S1, где S1 представља групу ротација. Овај количник се експлицитно реализује чувеном Хопфовом фибрацијом S1 → S2n+1 → CPn, чија се влакна налазе међу великим круговима сфере .
Као метрички количник
Када се узима количник Риманове многострукости (или метричког простора уопште), мора се водити рачуна да количнички простор буде снабдевен метриком која је добро дефинисана. На пример, ако група G делује на Римановој многострукости (X,g), тада да би простор орбита X/G поседовао индуковану метрику, мора бити константна дуж G-орбита у смислу да за било који елемент h ∈ G и пар векторских поља морамо имати g(Xh,Yh) = g(X,Y).
Стандардна Ермитска метрика на Cn+1 дата је у стандардној бази као
чија је реалификација стандардна Еуклидска метрика на R2n+2. Ова метрика није инваријантна под дијагоналним дејством C*, тако да је не можемо директно спустити на CPn у количнику. Међутим, ова метрика јесте инваријантна под дијагоналним дејством S1 = U(1), групе ротација. Стога је корак (b) у горњој конструкцији могућ након што се изврши корак (a).
Фубини-Штудијева метрика је метрика индукована на количнику CPn = S2n+1/S1, где носи „округлу метрику” која јој је додељена рестрикцијом стандардне Еуклидске метрике на јединичну хиперсферу.
У локалним афиним координатама Одговарајући тачки у CPn са хомогеним координатама , постоји јединствен скуп од n координата такав да
под условом да је ; конкретно, . чине афини координатни систем за CPn у координатној карти . Може се развити афини координатни систем у било којој од координатних карти дељењем са на очигледан начин. n+1 координатних карти покривају CPn, и могуће је дати метрику експлицитно преко афиних координата на . Координатни изводи дефинишу репер холоморфног тангентног раслојења CPn, у односу на који Фубини-Штудијева метрика има Ермитске компоненте
где је |z|2 = |z1|2 + ... + |zn|2. То јест, Ермитска матрица Фубини-Штудијеве метрике у овом реперу је
Треба приметити да је сваки елемент матрице унитарно-инваријантан: дијагонално дејство ће оставити ову матрицу непромењеном.
Сходно томе, елемент дужине је дат са
У овом последњем изразу, користи се конвенција о сабирању за сумирање преко латиничних индекса i,j који иду од 1 до n.
Метрика се може извести из следећег Келеровог потенцијала:
као
Коришћењем хомогених координата Израз је такође могућ у нотацији хомогених координата, која се често користи за описивање пројективних варијетета у алгебарској геометрији: Z = [Z0:...:Zn]. Формално, под условом да се изрази на одговарајући начин интерпретирају, имамо
Овде се користи конвенција о сабирању за сумирање преко грчких индекса α β који иду од 0 до n, а у последњој једнакости се користи стандардна нотација за антисиметрични део тензора:
Сада, овај израз за ds2 привидно дефинише тензор на укупном простору таутолошког раслојења Cn+1\{0}. Треба га правилно разумети као тензор на CPn његовим повлачењем дуж холоморфног пресека σ таутолошког раслојења CPn. Остаје тада да се провери да вредност повлачења не зависи од избора пресека: то се може урадити директним израчунавањем.
Келерова форма ове метрике је
где су Долбоови оператори. Повлачење овога је јасно независно од избора холоморфног пресека. Величина log|Z|2 је Келеров потенцијал (понекад се назива Келеров скалар) за CPn.
У бра-кет координатној нотацији У квантној механици, Фубини-Штудијева метрика је такође позната као Буресова метрика.Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics" (2010), Physics Letters A 374 pp. 4801. Међутим, Буресова метрика се обично дефинише у нотацији мешаних стања, док је доњи приказ написан у терминима чистог стања. Реални део метрике је (четвртина) метрике Фишерове информације.
Фубини-Штудијева метрика се може записати коришћењем бра-кет нотације која се често користи у квантној механици. Да бисмо експлицитно изједначили ову нотацију са горе наведеним хомогеним координатама, нека је
где је скуп ортонормираних базних вектора за Хилбертов простор, су комплексни бројеви, а је стандардна нотација за тачку у пројективном простору CPn у хомогеним координатама. Тада, дате две тачке и у простору, растојање (дужина геодезијске линије) између њих је
или, еквивалентно, у нотацији пројективних варијетета,
Овде је комплексно коњугована вредност од . Појављивање у имениоцу је подсетник да и исто тако нису нормализовани на јединичну дужину; стога је нормализација овде експлицитна. У Хилбертовом простору, метрика се може тумачити као угао између два вектора; стога се повремено назива квантни угао. Угао је реална величина и креће се од 0 до .
Инфинитезимални облик ове метрике може се брзо добити узимајући , или еквивалентно, да би се добило
У контексту квантне механике, CP1 се назива Блохова сфера; Фубини-Штудијева метрика је природна метрика за геометризацију квантне механике. Многа специфична понашања квантне механике, укључујући квантну спрегнутост и ефекат Беријеве фазе, могу се приписати специфичностима Фубини-Штудијеве метрике.
Случај n = 1 Када је n = 1, постоји дифеоморфизам дат стереографском пројекцијом. Ово води до „специјалне” Хопфове фибрације S1 → S3 → S2. Када се Фубини-Штудијева метрика запише у координатама на CP1, њена рестрикција на реално тангентно раслојење даје израз обичне „округле метрике” полупречника 1/2 (и Гаусове кривине 4) на S2.
Наиме, ако је z = x + iy стандардна афина координатна карта на Римановој сфери CP1 и x = r cos θ, y = r sin θ су поларне координате на C, тада рутинско израчунавање показује
где је округла метрика на јединичној 2-сфери. Овде су φ, θ „математичарске сферне координате” на S2 које долазе из стереографске пројекције r tan(φ/2) = 1, tan θ = y/x. (Многе референце из физике замењују улоге φ и θ.)
Келерова форма је
Бирајући за тетраде (репере) и , Келерова форма се поједностављује на
Применом Хоџове звезде на Келерову форму, добија се
што имплицира да је K хармонијска форма.
Случај n = 2 Фубини-Штудијева метрика на комплексној пројективној равни CP2 предложена је као гравитациони инстантон, гравитациони аналог инстантона. Метрика, форма конексије и кривина се лако израчунавају, након што се успоставе одговарајуће реалне 4D координате. Пишући за реалне Декартове координате, тада се дефинишу 1-форме поларних координата на 4-сфери (кватернионска пројективна линија) као
су стандардни лево-инваријантни репер 1-форми на Лијевој групи ; то јест, оне задовољавају за и цикличне пермутације.
Одговарајуће локалне афине координате су и , што затим даје
са уобичајеним скраћеницама и .
Елемент дужине, почевши од претходно датог израза, дат је са
Тетраде се могу одмах прочитати из последњег израза:
То јест, у координатном систему тетрада, користећи латиничне индексе, метрички тензор је Еуклидски:
Дат тетрадама, може се израчунати спинска конексија; Леви-Чивита спинска конексија је јединствена конексија која је без торзије и коваријантно константна, наиме, то је 1-форма која задовољава услов одсуства торзије
и коваријантно је константна, што, за спинске конексије, значи да је антисиметрична у индексима тетрада:
Горе наведено се лако решава; добија се
2-форма кривине је дефинисана као
и константна је:
Ричијев тензор у индексима тетрада дат је са
где је 2-форма кривине развијена као тензор са четири компоненте:
Резултујући Ричијев тензор је константан
тако да се резултујућа Ајнштајнова једначина
може решити са космолошком константом .
Вејлов тензор за Фубини-Штудијеве метрике уопште дат је са
За случај n = 2, 2-форме
су аутодуалне:
Особине кривине У специјалном случају n = 1, Фубини-Штудијева метрика има константну секциону кривину идентички једнаку 4, према еквиваленцији са округлом метриком 2-сфере (која за дати полупречник R има секциону кривину ). Међутим, за n > 1, Фубини-Штудијева метрика нема константну кривину. Њена секциона кривина је уместо тога дата једначиномSakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.
где је ортонормирана база 2-равни σ, пресликавање J : TCPn → TCPn је комплексна структура на CPn, а је Фубини-Штудијева метрика.
Последица ове формуле је да секциона кривина задовољава за све 2-равни . Максимална секциона кривина (4) се достиже на холоморфној 2-равни — оној за коју важи J(σ) ⊂ σ — док се минимална секциона кривина (1) достиже на 2-равни за коју је J(σ) ортогонално на σ. Из тог разлога, за Фубини-Штудијеву метрику се често каже да има „константну холоморфну секциону кривину” једнаку 4.
Ово чини CPn (нестрого) четврт-укљештеном многострукошћу; чувена теорема показује да просто повезана n-многострукост која је строго четврт-укљештена мора бити хомеоморфна сфери.
Фубини-Штудијева метрика је такође Ајнштајнова метрика по томе што је пропорционална свом сопственом Ричијевом тензору: постоји константа таква да за све i,j имамо
Ово имплицира, између осталог, да Фубини-Штудијева метрика остаје непромењена до на скаларни умножак под Ричијевим током. То такође чини CPn неопходним за теорију опште релативности, где служи као нетривијално решење за вакуумске Ајнштајнове једначине поља.
Космолошка константа за CPn дата је у зависности од димензије простора:
Метрика производа Уобичајени појмови сепарабилности примењују се на Фубини-Штудијеву метрику. Прецизније, метрика је сепарабилна на природном производу пројективних простора, Сегреовом утапању. То јест, ако је сепарабилно стање, тако да се може записати као , тада је метрика збир метрика на потпросторима:
где су и метрике, респективно, на потпросторима A и B.
Конексија и кривина