Током миленијума, откривени су многи начини за конструкцију магичних квадрата. Ове методе се могу класификовати као опште и специјалне методе, у смислу да опште методе омогућавају да конструишемо више од једног магичног квадрата задатог реда, док специјалне методе омогућавају конструкцију само једног магичног квадрата задатог реда. Специјалне методе су специфични алгоритми, док опште методе могу захтевати мало покушаја и грешака.

Специјалне методе су најједноставнији начини за конструкцију магичних квадрата. Оне прате одређене алгоритме који генеришу правилне обрасце бројева у квадрату. Исправност ових специјалних метода може бити доказана коришћењем једне од општих метода датих у каснијим одељцима. Након што је магични квадрат конструисан коришћењем специјалне методе, трансформације описане у претходном одељку могу се применити за добијање нових магичних квадрата. Специјалне методе се обично називају по ауторима (ако су познати) који су их описали, на пример де ла Луберова метода, Стрејчијева метода, Башеова метода итд.

Магични квадрати постоје за све редове осим за ред 2, пошто се они тривијално могу посматрати као хомогени систем линеарних једначина који се састоји од (највише) једначина и променљивих. Магични квадрати се могу класификовати према њиховом реду као непарни, двоструко парни (n дељиво са четири) и једноструко парни (n парно, али није дељиво са четири). Ова класификација се заснива на чињеници да се за конструкцију ових различитих врста квадрата морају применити потпуно различите технике. Непарне и двоструко парне магичне квадрате је лако генерисати; конструкција једноструко парних магичних квадрата је тежа, али постоји неколико метода, укључујући ЛУКС методу за магичне квадрате Џона Хортона Конвеја и Стрејчијеву методу.

Специјалне методе конструкције

Метода за конструисање магичног квадрата реда 3 У 19. веку, Едуар Лука је осмислио општу формулу за магичне квадрате реда 3. Размотримо следећу табелу састављену од позитивних целих бројева a, b и c: c − b c + (a + b) c − a c − (a − b) c c + (a − b) c + a c − (a + b) c + b Ових девет бројева ће бити различити позитивни цели бројеви који формирају магични квадрат са магичном константом 3c све док је 0 < a < b < c − a и b ≠ 2a. Штавише, сваки 3×3 магични квадрат различитих позитивних целих бројева је овог облика.

Године 1997. Ли Салоус је открио да остављајући по страни ротације и рефлексије, сваки различити паралелограм нацртан на Аргановом дијаграму дефинише јединствени 3×3 магични квадрат, и обрнуто, резултат који никада раније није био примећен.

Метода за конструисање магичног квадрата непарног реда

мини|десно|300px|Метода конструкције Јанг Хуеја Метода за конструкцију магичних квадрата непарног реда објављена је од стране француског дипломате де ла Лубера у његовој књизи A new historical relation of the kingdom of Siam (Du Royaume de Siam, 1693), у поглављу под насловом Проблем магичног квадрата према Индијцима.Mathematical Circles Squared By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, p. 22 Метода функционише на следећи начин:

Метода налаже да се почне у централној колони првог реда са бројем 1. Након тога, основно кретање за попуњавање поља је дијагонално горе и десно, један по један корак. Ако је поље попуњено вишекратником реда n, уместо тога се помера вертикално доле за једно поље, а затим се наставља као и раније. Када би потез „горе и десно” напустио квадрат, он се пребацује у последњи ред или прву колону, респективно.

+ корак 1 1      

+ корак 2 1   2

+ корак 3 1 3 2

+ корак 4 1 3 4 2

+ корак 5 1 3 5 4 2

+ корак 6 1 6 3 5 4 2

+ корак 7 1 6 3 5 7 4 2

+ корак 8 8 1 6 3 5 7 4 2

+ корак 9 8 1 6 3 5 7 4 9 2

Почетак из других поља, а не из централне колоне првог реда, је могућ, али ће тада само збирови редова и колона бити идентични и резултираће магичним збиром, док ће се збирови на дијагоналама разликовати. Резултат ће стога бити полумагични квадрат, а не прави магични квадрат. Кретање у правцима осим североистока такође може резултирати магичним квадратима.

+ Ред 3 8 1 6 3 5 7 4 9 2

+ Ред 5 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

+ Ред 9 47 58 69 80 1 12 23 34 45 57 68 79 9 11 22 33 44 46 67 78 8 10 21 32 43 54 56 77 7 18 20 31 42 53 55 66 6 17 19 30 41 52 63 65 76 16 27 29 40 51 62 64 75 5 26 28 39 50 61 72 74 4 15 36 38 49 60 71 73 3 14 25 37 48 59 70 81 2 13 24 35

Метода за конструкцију магичног квадрата двоструко парног реда Двоструко паран значи да је n парни умножак парног целог броја; или 4p (нпр. 4, 8, 12), где је p цео број.

Општи образац Сви бројеви се исписују редом слева надесно кроз сваки ред, почевши од горњег левог угла. Бројеви се затим или задржавају на истом месту или замењују са својим дијаметрално супротним бројевима по одређеном правилном обрасцу. У магичном квадрату четвртог реда, бројеви у четири централна поља и једно поље у сваком углу задржавају се на истом месту, док се остали замењују са својим дијаметрално супротним бројевима.

Конструкција магичног квадрата реда 4 Почевши од горњег левог угла, идите слева надесно кроз сваки ред квадрата, бројећи сваку ћелију од 1 до 16 и попуњавајући ћелије дуж дијагонала одговарајућим бројем. Када се стигне до доње десне ћелије, наставите тако што ћете ићи здесна налево, почевши од доњег десног угла табеле кроз сваки ред, и попуните недијагоналне ћелије бројећи од 1 до 16 са одговарајућим бројем. Као што је приказано у наставку:

+ M = Ред 41 4 6 7 10 11 13 16

+ M = Ред 41 15 14 412 6 7 9 8 10 11 513 3 2 16

Проширење претходног примера за редове 8 и 12 Прво генеришите табелу обрасца, где '1' означава избор из квадрата где су бројеви исписани редом од 1 до n2 (слева надесно, одозго надоле), а '0' означава избор из квадрата где су бројеви исписани обрнутим редом од n2 до 1. За M = 4, табела обрасца је као што је приказано у наставку (трећа матрица слева). Са осенченим неизмењеним ћелијама (ћелије са '1'), добија се укрштени образац.

+ M = Ред 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

+ M = Ред 4 16 15 14 1312 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

+ M = Ред 41 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 01 0 0 1

+ M = Ред 41 15 14 412 6 7 9 8 10 11 513 3 2 16

Обрасци су: а) у сваком реду и колони постоји једнак број јединица ('1') и нула ('0'); б) сваки ред и свака колона су „палиндромски”; в) лева и десна половина су слике у огледалу; и г) горња и доња половина су слике у огледалу (в и г имплицирају б). Табела обрасца се може означити коришћењем хексадецималних бројева као (9, 6, 6, 9) ради једноставности (1 нибл по реду, 4 реда). Најједноставнији метод генерисања потребног обрасца за двоструко парне квадрате вишег реда је копирање општег обрасца за квадрат четвртог реда у сваки четири пута четири потквадрат.

За M = 8, могући избори за образац су (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 нибла по реду, 8 редова).

+ M = Ред 81 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 01 0 0 1 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 01 0 0 1 1 0 0 1

+ M = Ред 81 4 5 8 10 11 14 15 18 19 22 23 25 28 29 3233 36 37 40 42 43 46 47 50 51 54 55 57 60 61 64

+ M = Ред 81 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 4125 39 38 28 29 35 34 3233 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 957 7 6 60 61 3 2 64

За M = 12, табела обрасца (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) даје магични квадрат (3 нибла по реду, 12 редова). Могуће је избројати број избора који се имају на основу табеле обрасца, узимајући у обзир ротационе симетрије.

Метода суперпозиције Најраније откриће методе суперпозиције направио је индијски математичар Нарајана у 14. веку. Исту методу су касније поново открили и проучавали почетком 18. века у Европи де ла Лубер, Поањар, де Ла Ир и Совер; а метода се обично назива де Ла Ировом методом. Иако Ојлеров рад на магичним квадратима није био оригиналан, он је познат по томе што је претпоставио немогућност конструисања равномерно непарних међусобно ортогоналних грчко-латинских квадрата. Ова претпоставка је оповргнута средином 20. века. Ради јасноће излагања, могу се разликовати две важне варијације ове методе.

Ојлерова метода Ова метода се састоји у конструисању два прелиминарна квадрата, који када се саберу дају магични квадрат. Као радни пример узима се магични квадрат 3×3. Сваки број природног квадрата 3×3 може бити означен паром бројева као

1 2 3 4 5 6 7 8 9

αa αb αc βa βb βc γa γb γc

где је сваки пар грчких и латиничних слова, нпр. , предвиђен да се сабере, тј. . Овде, . Бројеви 0, 3 и 6 се називају коренским бројевима, док се бројеви 1, 2 и 3 називају примарним бројевима. Важно опште ограничење овде је

грчко слово се упарује са латиничним словом само једном.

Дакле, оригинални квадрат сада може бити подељен на два једноставнија квадрата:

α α α β β β γ γ γ

a b c a b c a b c

Квадрати са словима се називају грчким квадратом или латинским квадратом ако су попуњени грчким или латиничним словима, респективно. Магични квадрат може бити конструисан осигуравањем да су грчки и латински квадрати такође магични квадрати. Обрнуто од ове тврдње је такође често, али не увек (нпр. оивичени магични квадрати), тачно: магични квадрат се може разложити на грчки и латински квадрат, који су сами по себи магични квадрати. Дакле, метода је корисна како за синтезу тако и за анализу магичног квадрата. На крају, испитивањем обрасца у којем су бројеви распоређени у завршеном квадрату, често је могуће доћи до бржег алгоритма за конструисање квадрата вишег реда који реплицирају дати образац, без потребе за стварањем прелиминарних грчких и латинских квадрата.

Током конструкције магичног квадрата 3×3, грчки и латински квадрати са само три јединствена члана су много лакши за рад него оригинални квадрат са девет различитих чланова. Збир редова и колона грчког квадрата биће исти, α + β + γ, ако

свако слово се појави тачно једном у датој колони или реду.

Ово се може постићи цикличном пермутацијом слова α, β и γ. Испуњавање ова два услова осигурава да је резултујући квадрат полумагични квадрат; а такви грчки и латински квадрати се називају међусобно ортогоналним. За дати ред n, постоји највише квадрата у скупу међусобно ортогоналних квадрата, не рачунајући варијације услед пермутације симбола. Ова горња граница је тачна када је n прост број.

Да бисмо конструисали магични квадрат, такође треба да осигурамо да збир дијагонала буде једнак магичној константи. За то имамо трећи услов:

или би сва слова требало да се појаве тачно једном у обе дијагонале; или у случају непарних квадрата, једна од дијагонала би требало да се састоји у потпуности од средњег члана, док би друга дијагонала требало да садржи сва слова тачно једном.

Међусобно ортогонални грчки и латински квадрати који задовољавају први део трећег услова (да се сва слова појављују у обе дијагонале) називају се међусобно ортогоналним двоструко дијагоналним грчко-латинским квадратима.

Непарни квадрати: За непарни квадрат 3×3, пошто су α, β и γ у аритметичкој прогресији, њихов збир је једнак производу реда квадрата и средњег члана, тј. α + β + γ = 3 β. Тако ће збирови на дијагоналама бити једнаки ако имамо β на главној дијагонали и α, β, γ на споредној дијагонали. Слично важи и за латински квадрат. Резултујући грчки и латински квадрати и њихова комбинација биће као у наставку. Латински квадрат је само ротација грчког квадрата за 90 степени у смеру супротном од казаљке на сату (или еквивалентно, превртање око вертикалне осе) са замењеним одговарајућим словима. Заменом вредности грчких и латиничних слова добиће се магични квадрат 3×3.

β α γ γ β α α γ β

c a b a b c b c a

βc αa γb γa βb αc αb γc βa

6 1 8 7 5 3 2 9 4

За непарне квадрате, ова метода објашњава зашто сијамска метода (метода де ла Лубера) и њене варијанте функционишу. Ова основна метода се може користити за конструкцију магичних квадрата непарног реда виших редова. Да резимирамо: