У баждарној теорији и математичкој физици, тополошка квантна теорија поља (или тополошка теорија поља или ТКТП) је квантна теорија поља која израчунава тополошке инваријанте.

Иако су ТКТП изумели физичари, оне су такође од математичког интереса, јер су повезане са, између осталог, теоријом чворова, теоријом 4-многострукости и алгебарском топологијом, као и са теоријом простора модула у алгебарској геометрији. Доналдсон, Џоунс, Витен и Концевич су сви освојили Филдсове медаље за математички рад повезан са тополошком теоријом поља.

У физици кондензоване материје, тополошке квантне теорије поља су нискоенергетске ефективне теорије поља стања са тополошким поретком, као што су стања фракционог квантног Халовог ефекта, кондензована стања мреже струна и друга јако корелисана квантна течна стања.

Преглед У тополошкој теорији поља, корелационе функције су независне од метрике, тако да остају непромењене при било којој деформацији простор-времена и стога су тополошке инваријанте.

Тополошке теорије поља нису веома занимљиве на равном простор-времену Минковског које се користи у физици честица. Простор Минковског се може контраховати у тачку, па ТКТП примењена на простор Минковског резултује тривијалним тополошким инваријантама. Сходно томе, ТКТП се обично примењују на закривљена простор-времена, као што су, на пример, Риманове површине. Већина познатих тополошких теорија поља је дефинисана на простор-временима димензије мање од пет. Изгледа да постоји неколико теорија виших димензија, али оне нису баш најбоље схваћене .

Квантна гравитација се сматра независном од позадине (у неком прикладном смислу), а ТКТП пружају примере квантних теорија поља независних од позадине. Ово је подстакло текућа теоријска истраживања ове класе модела.

(Упозорење: Често се каже да ТКТП имају само коначно много степени слободе. Ово није основно својство. Дешава се да је то тачно у већини примера које проучавају физичари и математичари, али није неопходно. Тополошки сигма модел циља бесконачно димензионални пројективни простор, и ако би се таква ствар могла дефинисати, имала би пребројиво бесконачно много степени слободе.)

Специфични модели Познате тополошке теорије поља спадају у две опште класе: ТКТП Шварцовог типа и ТКТП Витеновог типа. Витенове ТКТП се понекад називају и кохомолошким теоријама поља.Видети: .

ТКТП Шварцовог типа У ТКТП-овима Шварцовог типа, корелационе функције или партиционе функције система се израчунавају интегралом по путањама функционала дејства који су независни од метрике. На пример, у БФ моделу, простор-време је дводимензионална многострукост M, опсервабле се конструишу од 2-форме F, помоћног скалара B и њихових извода. Дејство (које одређује интеграл по путањама) је:

Метрика простор-времена се нигде не појављује у теорији, тако да је теорија експлицитно тополошки инваријантна. Први пример се појавио 1977. године, а аутор је А. Шварц; његов функционал дејства је:

Још један познатији пример је Черн-Сајмонсова теорија, која се може применити на инваријанте чворова. Уопштено говорећи, партиционе функције зависе од метрике, али горенаведени примери су независни од метрике.

ТКТП Витеновог типа Први пример ТКТП-ова Витеновог типа појавио се у Витеновом раду из 1988. године, тј. тополошка Јанг-Милсова теорија у четири димензије. Иако њен функционал дејства садржи метрику простор-времена gαβ, након тополошког увртања показује се да је независна од метрике. Независност тензора енергије-импулса Tαβ система од метрике зависи од тога да ли је БРСТ-оператор затворен. Пратећи Витенов пример, многи други примери се могу наћи у тополошкој теорији струна.

ТКТП Витеновог типа настају ако су испуњени следећи услови: Дејство ТКТП-а има симетрију, тј. ако означава трансформацију симетрије (нпр. Лијев извод) онда важи . Трансформација симетрије је егзактна, тј. . Постоје опсервабле које задовољавају за све . Тензор енергије-импулса (или сличне физичке величине) има облик за произвољан тензор .

Као пример: Нека је дато поље 2-форме са диференцијалним оператором који задовољава , тада дејство има симетрију ако је пошто је:

Даље, важи следеће (под условом да је независан од и делује слично као функционални извод):

Израз је пропорционалан са уз неку другу 2-форму .

Сада су сви просеци опсервабли за одговарајућу Харову меру независни од „геометријског” поља и стога су тополошки: .

Трећа једнакост користи чињеницу да је и инваријантност Харове мере при трансформацијама симетрије. Пошто је само број, њен Лијев извод је једнак нули.

Математичке формулације

Оригинални Атија-Сегалови аксиоми Атија је предложио скуп аксиома за тополошку квантну теорију поља, инспирисан предложеним аксиомима Сегала за конформну теорију поља (касније је Сегалова идеја сажета у његовом раду), и Витеновим геометријским значењем суперсиметрије. Атијини аксиоми су конструисани лепљењем граница диференцијабилном (тополошком или непрекидном) трансформацијом, док су Сегалови аксиоми за конформне трансформације. Ови аксиоми су били релативно корисни за математички третман Шварцових квантних теорија поља, иако није јасно да ли обухватају целокупну структуру Витенових квантних теорија поља. Основна идеја је да је ТКТП функтор из одређене категорије кобордизама у категорију векторских простора.

Заправо постоје два различита скупа аксиома који би се оправдано могли назвати Атијиним аксиомима. Ови аксиоми се у основи разликују по томе да ли се примењују на ТКТП дефинисану на једном фиксном n-димензионалном Римановом / Лоренцовом простор-времену M или на ТКТП дефинисану на свим n-димензионалним простор-временима одједном.

Нека је Λ комутативни прстен са јединицом (за готово све сврхе у стварном свету имаћемо Λ = Z, R или C). Атија је првобитно предложио аксиоме тополошке квантне теорије поља (ТКТП) у димензији d дефинисане над основним прстеном Λ на следећи начин: Коначно генерисан Λ-модул Z(Σ) придружен свакој оријентисаној затвореној глаткој d-димензионалној многострукости Σ (одговара аксиому о хомотопији), Елемент Z(M) ∈ Z(∂M) придружен свакој оријентисаној глаткој (d + 1)-димензионалној многострукости (са границом) M (одговара адитивном аксиому).

Ови подаци подлежу следећим аксиомима (4. и 5. аксиом је додао Атија): Z је функторијалан у односу на дифеоморфизме који чувају оријентацију многострукости Σ и M, Z је инволуторан, тј. Z(Σ*) = Z(Σ)* где је Σ* многострукост Σ са супротном оријентацијом, а Z(Σ)* означава дуални модул, Z је мултипликативан. Z() = Λ за d-димензионалну празну многострукост и Z() = 1 за (d + 1)-димензионалну празну многострукост. Z(M*) = (ермитски аксиом). Ако је тако да се Z(M) може посматрати као линеарна трансформација између ермитских векторских простора, онда је ово еквивалентно томе да је Z(M*) адјунгован оператор за Z(M).

Напомена. Ако за затворену многострукост M посматрамо Z(M) као нумеричку инваријанту, онда би за многострукост са границом требало да мислимо о Z(M) ∈ Z(∂M) као о „релативној” инваријанти. Нека је f : Σ → Σ дифеоморфизам који чува оријентацију, и идентификујмо супротне крајеве Σ × I помоћу f. Ово даје многострукост Σf, а наши аксиоми имплицирају:

где је Σ(f) индуковани аутоморфизам од Z(Σ).

Напомена. За многострукост M са границом Σ увек можемо формирати двоструку која је затворена многострукост. Пети аксиом показује да је:

где на десној страни рачунамо норму у ермитској (можда неодређеној) метрици.

Веза са физиком Физички гледано, аксиоми (2) + (4) су повезани са релативистичком инваријантношћу, док (3) + (5) указују на квантну природу теорије.

Σ треба да означава физички простор (обично је d = 3 за стандардну физику), а додатна димензија у Σ × I је „имагинарно” време. Простор Z(Σ) је Хилбертов простор квантне теорије, а физичка теорија, са хамилтонијаном H, имаће оператор временске еволуције eitH или оператор „имагинарног времена” e−tH. Главна карактеристика тополошких квантних теорија поља је да је H = 0, што имплицира да нема стварне динамике или пропагације дуж цилиндра Σ × I. Међутим, може постојати нетривијална „пропагација” (или амплитуде тунеловања) од Σ0 до Σ1 кроз интервенишућу многострукост M са ; ово одражава топологију многострукости M.

Ако је ∂M = Σ, онда се истакнути вектор Z(M) у Хилбертовом простору Z(Σ) сматра стањем вакуума дефинисаним са M. За затворену многострукост M број Z(M) је очекивана вредност вакуума. По аналогији са статистичком механиком, он се такође назива партиционом функцијом.

Разлог зашто се теорија са нултим хамилтонијаном може смислено формулисати лежи у приступу преко Фајнмановог интеграла по путањама квантној теорији поља. Ово укључује релативистичку инваријантност (која се примењује на општа (d + 1)-димензионална „простор-времена”), а теорија је формално дефинисана одговарајућим лагранжијаном — функционалом класичних поља теорије. Лагранжијан који укључује само прве изводе по времену формално доводи до нултог хамилтонијана, али сам лагранжијан може имати нетривијалне карактеристике које се односе на топологију многострукости M.

Атијини примери Године 1988, М. Атија је објавио рад у којем је описао многе нове примере тополошке квантне теорије поља који су разматрани у то време. Рад садржи неке нове тополошке инваријанте заједно са неким новим идејама: Касонова инваријанта, Доналдсонова инваријанта, Громовљева теорија, Флоерова хомологија и Џоунс-Витенова теорија.

d = 0 У овом случају Σ се састоји од коначно много тачака. Једној тачки придружујемо векторски простор V = Z(тачка), а за n-тачака n-тоструки тензорски производ: V⊗n = V ⊗ … ⊗ V. Симетрична група Sn делује на V⊗n. Стандардни начин да се добије квантни Хилбертов простор је да се почне са класичном симплектичком многострукошћу (или фазним простором) и затим да се изврши њена квантизација. Нека се Sn прошири на компактну Лијеву групу G и размотримо „интеграбилне” орбите за које симплектичка структура потиче од линијског свежња; тада квантизација доводи до иредуцибилних репрезентација V групе G. Ово је физичка интерпретација Борел-Вејлове теореме или Борел-Вејл-Ботове теореме. Лагранжијан ових теорија је класично дејство (холономија линијског свежња). Тако су тополошке ТКТП са d = 0 природно повезане са класичном теоријом репрезентација Лијевих група и симетричне групе.

d = 1 Требало би да размотримо периодичне граничне услове дате затвореним петљама у компактној симплектичкој многострукости X. Заједно са холономијом, такве петље које се користе у случају d = 0 као лагранжијан се затим користе за модификацију хамилтонијана. За затворену површину M инваријанта Z(M) теорије је број псеудохоломорфних пресликавања у Громовљевом смислу (она су обична холоморфна пресликавања ако је X Келерова многострукост). Ако овај број постане бесконачан, тј. ако постоје „модули”, онда морамо фиксирати додатне податке на M. Ово се може урадити одабиром неких тачака Pi и затим посматрањем холоморфних пресликавања при чему је f(Pi) ограничено тако да лежи на фиксној хиперравни. Витен је записао релевантни лагранжијан за ову теорију. Флоер је дао ригорозан третман, тј. Флоерову хомологију, засновану на Витеновим идејама Морзеове теорије; за случај када су гранични услови на интервалу уместо да буду периодични, почетна и крајња тачка путање леже на две фиксне Лагранжове подмногострукости. Ова теорија се развила као теорија Громов-Витенових инваријанти.

Још један пример је холоморфна конформна теорија поља. У то време се ово можда није сматрало стриктно тополошком квантном теоријом поља јер су Хилбертови простори бесконачно димензионални. Конформне теорије поља су такође повезане са компактном Лијевом групом G у којој се класична фаза састоји од централног проширења групе петљи (LG). Њиховом квантизацијом настају Хилбертови простори теорије иредуцибилних (пројективних) репрезентација групе LG. Група Diff+(S1) сада замењује симетричну групу и игра важну улогу. Као резултат тога, партициона функција у таквим теоријама зависи од комплексне структуре, па стога није чисто тополошка.

d = 2