У математици, p-адична Хоџова теорија је теорија која пружа начин за класификацију и проучавање p-адичних Галоаових репрезентација локалних поља карактеристике 0У овом чланку, локално поље је комплетно поље са дискретном валуацијом чије је резидуално поље савршено. са резидуалном карактеристиком p (као што су Qp). Теорија има своје почетке у истраживањима Жан-Пјера Сера и Џона Тејта о Тејтовим модулима Абелових варијетета и појму Хоџ-Тејтове репрезентације. Хоџ-Тејтове репрезентације су повезане са одређеним декомпозицијама p-адичних теорија кохомологије аналогим Хоџовој декомпозицији, отуда и назив p-адична Хоџова теорија. Даљи развој био је инспирисан својствима p-адичних Галоаових репрезентација које произилазе из еталне кохомологије алгебарских варијетета. Жан-Марк Фонтен је увео многе од основних концепата у овој области.

Општа класификација p-адичних репрезентација Нека је локално поље са резидуалним пољем карактеристике . У овом чланку, -адична репрезентација поља (или од , апсолутне Галоаове групе поља ) биће непрекидна репрезентација , где је коначнодимензионални векторски простор над . Колекција свих -адичних репрезентација поља чини Абелову категорију која је у овом чланку означена са . -адична Хоџова теорија пружа потколекције -адичних репрезентација на основу њихових лепих својстава, а такође пружа верне функторе у категорије објеката линеарне алгебре које је лакше проучавати. Основна класификација је следећа:

где је свака колекција пуна поткатегорија која је право садржана у следећој. Редом, ово су категорије кристалних репрезентација, полустабилних репрезентација, де Рамових репрезентација, Хоџ-Тејтових репрезентација и свих p-адичних репрезентација. Поред тога, могу се увести још две категорије репрезентација, потенцијално кристалне репрезентације и потенцијално полустабилне репрезентације . Друга строго садржи прву, која заузврат генерално строго садржи ; поред тога, генерално строго садржи и садржана је у (са једнакошћу када је резидуално поље од коначно, тврдња која се назива p-адична теорема монодромије).

Прстени периода и изоморфизми поређења у аритметичкој геометрији Општа стратегија p-адичне Хоџове теорије, коју је увео Фонтен, јесте да се конструишу одређени прстени периодаОви прстени зависе од посматраног локалног поља K, али се овај однос обично изоставља из нотације. као што су BdR, Bst, Bcris и BHT који имају и дејство од GK и неку линеарно-алгебарску структуру, и да се разматрају Дједонеови модули

(где је B прстен периода, а V је p-адична репрезентација) који више немају дејство од GK, али су обдарени линеарно-алгебарским структурама наслеђеним од прстена B. Конкретно, они су векторски простори над фиксним пољем .За B = BHT, BdR, Bst и Bcris, је редом K, K, K0 и K0, где је K0 = Frac(W(k)), поље разломака Витових вектора од k. Ова конструкција се уклапа у формализам B-допустивих репрезентација који је увео Фонтен. За прстен периода попут горепоменутих B∗ (за ∗ = HT, dR, st, cris), претходно споменута категорија p-адичних репрезентација Rep∗(K) јесте категорија B∗-допустивих, односно оних p-адичних репрезентација V за које је

или, еквивалентно, морфизам поређења

представља изоморфизам.

Овај формализам (и назив прстен периода) произашао је из неколико резултата и хипотеза у вези са изоморфизмима поређења у аритметичкој и комплексној геометрији: Ако је X права глатка шема над C, постоји класични изоморфизам поређења између алгебарске де Рамове кохомологије од X над C и сингуларне кохомологије од X(C)

Овај изоморфизам се може добити посматрањем упаривања добијеног интегрисањем диференцијалних форми у алгебарској де Рамовој кохомологији преко циклуса у сингуларној кохомологији. Резултат такве интеграције назива се период и генерално је комплексни број. Ово објашњава зашто сингуларна кохомологија мора бити тензорована до C, и са ове тачке гледишта, може се рећи да C садржи све периоде неопходне за поређење алгебарске де Рамове кохомологије са сингуларном кохомологијом, те би се у овој ситуацији могао назвати прстеном периода. Средином шездесетих година двадесетог века, Тејт је поставио хипотезуВидети да би сличан изоморфизам требало да важи за праве глатке шеме X над K између алгебарске де Рамове кохомологије и p-адичне еталне кохомологије (Хоџ-Тејтова хипотеза, која се такође назива CHT). Конкретно, нека је CK комплетирање алгебарског затворења од K, нека CK(i) означава CK где је дејство од GK преко g·z = χ(g)ig·z (где је χ p-адични циклотомични карактер, а i цео број), и нека је . Тада постоји функторијални изоморфизам

градуисаних векторских простора са GK-дејством (де Рамова кохомологија је опремљена са Хоџовом филтрацијом, а је њен придружени градуисани део). Ову хипотезу је доказао Герд Фалтингс крајем осамдесетих након делимичних резултата неколико других математичара (укључујући и самог Тејта). За Абелов варијетет X са добром редукцијом над p-адичним пољем K, Александар Гротендик је реформулисао Тејтову теорему тако да каже да кристална кохомологија H1(X/W(k)) ⊗ Qp специјалног влакна (са Фробенијусовим ендоморфизмом на овој групи и Хоџовом филтрацијом на овој групи тензорованој са K) и p-адична етална кохомологија H1(X,Qp) (са дејством Галоаове групе од K) садрже исте информације. Обе су еквивалентне p-дељивој групи придруженој X, до на изогенију. Гротендик је поставио хипотезу да би требало да постоји начин да се директно пређе са p-адичне еталне кохомологије на кристалну кохомологију (и обрнуто), за све варијетете са добром редукцијом над p-адичним пољима. Ова предложена веза постала је позната као мистериозни функтор.

Да би унапредио Хоџ-Тејтову хипотезу у хипотезу која укључује де Рамову кохомологију (не само њен придружени градуисани део), Фонтен је конструисао филтрирани прстен BdR чији је придружени градуисани део BHT и поставио следећу хипотезу, Conjecture A.6 (названу CdR) за било коју глатку праву шему X над K

као филтрираних векторских простора са GK-дејством. На овај начин, за BdR би се могло рећи да садржи све (p-адичне) периоде потребне за поређење алгебарске де Рамове кохомологије са p-адичном еталном кохомологијом, баш као што су горе наведени комплексни бројеви коришћени за поређење са сингуларном кохомологијом. Отуда BdR добија назив прстен p-адичних периода.

Слично, да би формулисао хипотезу која објашњава Гротендиков мистериозни функтор, Фонтен је увео прстен Bcris са GK-дејством, „Фробенијусом” φ и филтрацијом након проширења скалара са K0 на K. Он је поставио следећу хипотезу, Conjecture A.11 (названу Ccris) за било коју глатку праву шему X над K са добром редукцијом

као векторских простора са φ-дејством, GK-дејством и филтрацијом након проширења скалара на K (овде је дата њена структура као K0-векторског простора са φ-дејством датим кроз поређење са кристалном кохомологијом). Обе хипотезе, CdR и Ccris, доказао је Фалтингс.

Упоређивањем ове две хипотезе са горенаведеним појмом B∗-допустивих репрезентација, види се да ако је X права глатка шема над K (са добром редукцијом) и V је p-адична Галоаова репрезентација добијена као њена i-та група p-адичне еталне кохомологије, тада је

Другим речима, на Дједонеове модуле треба гледати као на оне који дају остале кохомологије повезане са V.

Крајем осамдесетих, Фонтен и Уве Јансен формулисали су још једну хипотезу о изоморфизму поређења, Cst, овог пута дозвољавајући да X има полустабилну редукцију. Фонтен је конструисао, Exposé II, section 3 прстен Bst са GK-дејством, „Фробенијусом” φ, филтрацијом након проширења скалара са K0 на K (и фиксирања проширења p-адичног логаритма), и „оператором монодромије” N. Када X има полустабилну редукцију, де Рамова кохомологија може бити опремљена φ-дејством и оператором монодромије преко њеног поређења са лог-кристалном кохомологијом коју је први увео Осаму Хјодо. Хипотеза затим тврди да је

као векторских простора са φ-дејством, GK-дејством, филтрацијом након проширења скалара на K и оператором монодромије N. Ову хипотезу доказао је крајем деведесетих Такеши Цуџи.

Види још Хоџова теорија Аракеловљева теорија Хоџ-Аракеловљева теорија p-адична Тајхмилерова теорија

Референце

Литература

Категорија:Алгебарска теорија бројева Категорија:Теорија репрезентације група Категорија:Хоџова теорија Категорија:Аритметичка геометрија Категорија:P-адични бројеви