Омар Хајам (Персијски: غیاث الدین ابوالفتح عمر ابراهیم خیام نیشابورﻯ, Гијас ад-Дин Абу'л ал-Фатх Умар ибн Ибрахим ал-Хајам НишапуриArabic: . Selin (ed.), . The byename al-Khayyāmi means "tent maker". Ġiyāṯ al-Dīn () means "the Shoulder of the Faith". The nisba al-Nīshābūrī or al-Naysābūrī means "of Nishapur"., 18. мај 1048 – 4. децембар 1131) био је персијски полихистор, филозоф, математичар, астроном, астролог и песник. Сматра се једним од најутицајнијих мислилаца средњег века. Он је такође писао трактате о механици, географији, минерологији, музици и исламској теологији.
Рођен у Нишапуру, као млад се преселио у Самарканд и тамо стекао образовање. Потом се преселио у Бухару и потврдио се као један од најбољих математичара и астронома у Златном добу ислама. Он је аутор једног од најбитнијих трактата о алгебри написаног пре модерног доба, Трактат о демонстрацији проблема алгебре (1070. године), који укључује геометријски метод решавања кубних једначина пресецањем хиперболе кругом. Допринео је и реформи календара.
Његов значај као филозофа и учитеља, као и његових неколико преосталих филозофских радова још нису добили једнаку пажњу као његови научни и песнички списи. Ал-Замахшари га је називао „филозофом света“. Многи извори сведоче да је деценијама предавао филозофију Ибн Сине (Авицене) у Нишапуру, где је Хајам рођен и сахрањен и где његов маузолеј данас представља ремек-дело иранске архитектуре, који је посећен од многих сваке године.
Осим Ирана и персијског говорног подручја, Хајам је извршио шири утицај на литературу и друштво путем превођења његових радова и популаризацијом преко других учењака. Највећи такав утицај је извршен у земљама енглеског говорног подручја, а енглески учењак Томас Хајд (1636—1703) био је први Европљанин који га је проучавао. Најутицајнији од свих био је Едвард Фицџералд (1809—1883), који је учинио да Хајам постане најпознатији песник Истока на Западу преко превода и адаптације Хајамових, не тако бројних, катрена (Персијски: رباعیات рубаије) под насловом Рубаије Омара Хајама.
Омар Хајам је умро 1131. и сахрањен је у Хајамовом Врту код маузолеја Имзаде Махрука у Нишапуру. Године 1963, Маузолеј Омара Хајама саграђен је управо на том месту.
По Хајаму су назив добили астероид 3095 Омар Хајам, као и један месечев кратер 1970. године. Име Гијас ад-Дин (персијски: غیاث الدین) значи „Раме вере“. Ибрахим (персијски: ابراهیم) значи „Аврам“ и име је Омаровог оца. Абу ал-Фатх (персијски: ابوالفتح) што значи „отац Фатха“. Ово није поткрепљено од стране било ког биографа; наиме, да је Хајам имао сина са тим именом. Нишапури (Перисјски: نیشاپوری) просто значи „из Нишапура“. И Хајам (персијски: خیام) значи „произвођач шатора“, што је било занимање његовог оца.
Биографија Омар Хајам родио се у Нишапуру, данашњем Ирану, тада селџучком главном граду у ширем Хорасану,. Ed. Christopher Decker, , xv;"The Saljuq Turks had invaded the province of Khorasan in the 1030s, and the city of Nishapur surrendered to them voluntarily in 1038. Thus Omar Khayyam grew to maturity during the first of the several alien dynasties that would rule Iran until the twentieth century.".Peter Avery and John Heath-Stubbs, The Ruba'iyat of Omar Khayyam, (Penguin Group, 1981), 14;"These dates, 1048-1031, tell us that Khayyam lived when the Saljuq Turkish Sultans were extending and consolidating their power over Persia and when the effects of this power were particularly felt in Nishapur, Khayyam's birthplace. који је био ривал Каиру и Багдаду у утицају на културу те ере и који је био важан религијски центар за зороастријанце. Веома је вероватно да је Хајамов отац био зороастријанац који се преобратио у ислам.The Wine of Wisdom: The Life, Poetry and Philosophy of Omar Khayyam. Oneworld Publications (July 2007): Mehdi Aminrazavi. Хајам је можда познавао средњоперсијски језик, који је користио 1079. године за називе месеци у свом новом календару. Мисли се да је рођен у породици произвођача шатора (хајјами), што је користио да се игра речима у животу:
Хајам, који је шаторе од науке шио, Пао је у пећ жалости и гадно опечен био, Маказе Судбе пресекоше му конопце живота, И трговац Наде га прода ни за шта! — Омар Хајам Део свог детињства провео је у граду Балху (у данашњем северном Авганистану), студирајући код познатог учењака Шеика Мухамеда (шејха Мухамеда) Мансурија. Касније је учио код имама Мовафак Нишапурија, који је био сматран једним од најбољих предавача у Хорасану и околини. Кроз живот, Омар Хајам био је неуморан: дању би предавао алгебру и геометрију, увече би био на селџучком двору саветник Малик Шаха,. xv. а ноћу би проучавао астрономију и све битне аспекте Џалали календара.
Хајамове године проведене у Исфахану биле су веома продуктивне. Његови заштитници били су султан Меликшах, најмоћнији од четворице „великих Селџука” и његов мудри везир Низамулмулк. После смрти султана Маликшаха (највероватније убијен од стране секте асасина), султанова удовица окренула се против њега као саветника и ускоро је послат на хаџилук у Меку и Медину. Потом је добио дозволу да ради као дворски астролог и био му је допуштен повратак у Нишапур, где је био познат по својим радовима. Тамо је наставио да предаје математику, астрологију, чак и медицину, али је ускоро умро, у Нишапуру 1122. године.
Математичар Хајам је био познат већ за свог живота као математичар. Написао је утицајан Трактат о демонстрацији проблема алгебре (1070), који је поставио принципе алгебре, дела персијске математике која је временом дошла у Европу. Он је извео опште методе за решавање кубних једначина и за неке једначине вишег реда.
мини|„Кубна једначина и пресек конусних секција“ - Прва страница рукописа са два поглавља која се чува на Техеранском универзитету
У Трактату је писао о троугаоном поретку биномних коефицијената познатих као "Паскалов троугао". Године 1077, Хајам је написао „Објашњења тешкоћа Еуклидових дефиниција“.The Quatrains of Omar Khayyam E.H. Whinfield Битан део књиге бави се славним Еуклидовим петим постулатом, који је привукао пажњу Сабита ибн Куре. Ал-Хајсам је претходно покушао демонстрацију постулата; Хајамов покушај био је далеко напреднији и његове критике су пронашле свој пут до Европе, вероватно доприносећи евентуалном развоју нееуклидске геометрије.
Омар Хајам створио је битне радове на тему геометрије, посебно у теорији пропорција. Његови славни математичари савременици су Ал-Хазини и Абу Хатим. Теорија паралела Такође видети: Историјат нееуклидске геометрије и Постулат паралелности
мини|усправно|На гробу Омара Хајама. Аутор: Jay Hambidge.
Хајам је написао и „Објашњења тешкоћа у постулатима Еуклидових Елемената“. Рад се састоји од више делова на тему постулата паралелности (Књига I), на тему еуклидских дефиниција разломака и верижних разломака (Књига II), и на тему множења разломака (Књига III).
Први део је трактат који садржи неке предлоге и дилеме које се тичу постулата паралелности. Ушао је у западни свет репродукцијом његовог рукописа који је начинио 1387—1388. године такође персијски математичар „ Туси”. Туси експлицитно помиње да преписује трактат „према Хајамовим сопственим речима“ и цитира Хајама, рекавши да „су вредне додавања Еуклидовим Елементима (прва књига) након Предлога 28.“ Овај предлог наводи довољан услов да две праве у равни буду паралелне једна у односу на другу. Након овог предлога, следи још један, под бројем 29, који је супротан претходном. Еуклидов доказ користи такозвани постулат паралелности (са бројем 5). Приговор на употребу постулата паралелности и алтернативни поглед на Предлог 29 били су главни проблем у оснивању онога што се сада зове нееуклидска геометрија. Хајамов трактат се може сматрати првом обрадом аксиома паралели која није базирана на логичкој грешци „Petitio principii”, већ на интуитивнијем постулату. Хајам је оповргнуо претходне покушаје грчких и персијских математичара да докажу предлог. И он, као и Аристотел, одбија употребу кретања у геометрији и самим тим такође одбацује другачији покушај Ибн Хајсама. На неки начин, он је направио први покушај формулисања нееуклидовског постулата као алтернативу постулату паралелности.. Excerpt: In some sense, his treatment was better than ibn al-Haytham's because he explicitly formulated a new postulate to replace Euclid's rather than have the latter hidden in a new definition.
Геометријска алгебра
мини|десно|Омар Хајамово геометријско решење проблема кубне једначине x3 + 2x = 2x2 + 2
Хајамов филозофски поглед на математику је утицао на његов прослављени приступ и метод у геометријској алгебри и, посебно, у решавању кубних једначина. Његово решење није директан пут ка нумеричком решењу, а његова решења нису бројеви већ сегменти правих. Хајамов рад се може сматрати првом систематичном студијом и првим егзактним методом решавања кубних једначина,Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers. иако су се слични методи појављивали спорадично, још од Менехма.
У свом неименованом спису на тему кубних једначина откривеном у 20. веку, одакле је горепоменути цитат, Хајам се бави проблемима геометријске алгебре. Први проблем је „наћи тачку на квадранту круга такву да када се спусти нормала од те тачке до једног од граничних полупречника, однос дужине нормале и пречника је једнак односу сегмената одређених тачком нормале.“ Поново, решавајући овај проблем, он га је свео на други геометријски проблем: „наћи правоугли троугао који има особину да је хипотенуза једнака збиру једне стране и висине над хипотенузом“.E. S. Kennedy, Chapter 10 in Cambridge History of Iran (5). . Да би решио овај геометријски проблем, специјализовао је параметар и достигао кубну једначину x3 + 2x = 2x2 + 2. Заиста, он проналази позитиван корен ове једначине пресецајући хиперболу кругом.
Ово конкретно геометријско решење кубних једначина је било даље истраживано и проширено до једначина четвртог степена. Што се тиче уопштених једначина, он тврди да је за решење кубних једначина потребна употреба конусних делова и да се не могу решити методом лењира и шестара. Доказ ове нерешивости је постао веродостојан 750 година након што је Хајам умро. У овом раду, Хајам помиње да је вољан да спреми рад који ће дати потпуно решење кубних једначина: „Ако се укаже прилика и успем, даћу свих ових четрнаест образаца са свим својим гранама и случајевима, и како да се разликује шта је могуће а шта не, како би се припремио рад који садржи елементе који су веома корисни у овој уметности.“ Ово се односи на дело „Трактат о представљању проблема алгебре“ (1070), који је поставио принципе алгебре, успоставио део персијске математике који ће касније бити пребачен у Европу. Посебно, извео је уопштене методе за решавање кубних једначина и неких једначина вишег реда.
Биномна теорема и извлачење корена
Ова Хајамова напомена и одређени предлози пронађени у његовом рукопису о алгебри учинили су да неки историчари математике верују да је Хајам заиста знао биномну теорему до било ког степена. Случај другог степена је експлицитно наведен у Еуклидовим Елементима, а случај до, највише, степена 3 је установљен од стране индијских математичара. Хајам је био математичар који је приметио важност уопштене биномне теореме. Аргумент који подржава тврдњу да је Хајам имао уопштену биномну теорему заснован је на његовој способности да извуче корене.
Хајам-Сакери четвороугао Сакери четвороугао први пут је разматрао Хајам крајем 11. века у Књизи I дела „Објашњења тешкоћа у постулатима Еуклидових Елемената“. За разлику од многих Еуклидових критичара пре и после њега (укључујући и Сакерија), Хајам није покушавао да докаже постулат паралелности већ да га изведе из еквивалентног постулата који је он формулисао из „Принципа филозофа“ (Аристотел): Две конвергентне праве се секу и немогуће је да две конвергентне праве дивергирају у правцу у ком конвергирају.