мини|right|250px|Лук круга исте дужине као и полупречник тог круга обухвата угао од 1 радијана. Обим обухвата угао од 2 радијана.
У математици и физици, радијан је мерна јединица угла. То је СИ изведена јединица за угао. Дефинисана је као угао код центра круга затворен луком кружнице који је једнак у дужини полупречнику круга. Мере угла у радијанима су често дате без икакве експлицитне јединице. Када се да јединица, користи се скраћеница rad, а понекад симбол c (за циркуларни).
Дефиниција thumb|лево|250px|Потпуна револуција је 2 радијана (овде је приказана кругом полупречника један, а тиме и обимом 2).
Један радијан се дефинише као угао формиран од центра круга који пресеца лук једнаке дужине полупречнику круга. Уопштеније, магнитуда тог угла у радијанима једнака је односу дужине лука и полупречника круга; то јест, , где је угао у радијанима, је дужина лука, а је полупречник. Супротно томе, дужина пресеченог лука једнака је полупречнику помноженом са величином угла у радијанима; односно .
Као однос две дужине, радијан је чист број. У СИ, радијан је дефинисан као да има вредност 1.ISO 80000-3:2006 Као последица тога, у математичком писању, симбол „rad“ се скоро увек изоставља. Када се квантификује угао у одсуству било ког симбола, претпостављају се радијани, а када се мисли на степене, користи се знак степена .
Из тога следи да је величина у радијанима једног потпуног обртаја (360 степени) дужина целог обима подељена полупречником, или , или 2. Тако је 2 радијана једнако 360 степени, што значи да је један радијан једнак 180/ ≈ степени.
Релација се може извести коришћењем формуле за дужину лука, , и коришћењем круга полупречника 1. Пошто је радијан мера угла који спаја лук дужине једнаке полупречнику круга, следи . Ово се даље може поједноставити на . Множење обе стране са 360° даје .
Историја
Концепт радијанске мере, за разлику од степена угла, обично се приписује Роџеру Котсу 1714. године.Roger Cotes died in 1716. By 1722, his cousin Robert Smith had collected and published Cotes' mathematical writings in a book, Harmonia mensurarum … . In a chapter of editorial comments by Smith, he gives, for the first time, the value of one radian in degrees. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of (3.14159…) along a unit circle (i.e., radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.) Он је описао радијан у свему осим у имену и препознао његову природност као јединицу угаоне мере. Пре него што је термин радијан постао широко распрострањен, јединица се обично звала кружна мера угла.,
Идеју о мерењу углова дужином лука већ су користили други математичари. На пример, ал-Каши (око 1400) користио је такозване делове пречника као јединице, где је један део пречника био радијана. Такође су користили сексагезималне подјединице дела пречника.
Термин радијан се први пут појавио у штампи 5. јуна 1873. у испитним питањима које је поставио Џејмс Томсон (брат лорда Келвина) на Квинс колеџу у Белфасту. Он је користио тај термин још 1871. године, док је 1869. Томас Мјур, тада са Универзитета Сент Ендруз, колебао између појмова -{rad}-, -{radial}-, и -{radian}-. Године 1874, након консултација са Џејмсом Томсоном, Мјур је усвојио радијан. Име радијан није било универзално усвојено неко време након овога. Лонгмансова школска тригонометрија је и користила назив радијанска кружна мера када је објављена 1890.Frederick Sparks, Longmans' School Trigonometry, p. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 (1891 edition)
Симбол јединице
Међународни биро за тегове и мере2019 BIPM Brochure и Међународна организација за стандардизацијуISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time наводе -{rad}- као симбол радијана. Алтернативни симболи који су коришћени пре 100 година су -{c}- (наднасловно написано слово -{c}-, за „кружну меру“), слово -{r}- или суперскрипт , али се ове варијанте ретко користе, јер могу бити помешане са симболом степена (°) или полупречником (-{r}-). Стога би вредност од 1,2 радијана најчешће била записана као 1,2 rad; друге ознаке укључују 1,2 r, 1,2, 1,2, или 1,2.
Конверзије Постоје 2π (око 6,283185) радијана у пуном кругу, па:
2π rad = 360° 1 rad = 360°/2π = 180°/π (приближно 57,29578°).
или:
У математичкој анализи, углови морају да се представе у радијанима у тригонометријским функцијама, да би идентитети и резултати били што простији и природнији. На пример, употреба радијана води до простог идентитета
,
који је основа за многе друге елегантне идентитете у математици, укључујући
.
Радијан је пре био СИ допунска јединица, али је ова категорија укинута из СИ система 1995. године.
Треба нагласити да, иако је радијан јединица за меру, све мерено у радијанима је бездимензионално. Ово може лако да се уочи у томе да је однос дужине лука и полупречника у ствари угао лука, мерен у радијанима; а ипак количник два растојања је без димензија. Величине углова су напросто бројеви—у математичком смислу—а не физичке величине мерене у односу на известан фиксан еталон. Величина угла, у радијанима, степенима или ма којој другој јединици, независна је од јединице која се користи за изражавање дужина и других физичких мерљивих величина.
За мерење просторних углова, видите стерадијан.
Предности мерења у радијанима thumb|357px|right|Неки уобичајени углови, мерени у радијанима. Сви велики полигони у овом дијаграму су правилни полигони.
У калкулусу и већини других грана математике изван практичне геометрије, углови се универзално мере у радијанима. То је зато што радијани имају математичку „природности” која доводи до елегантније формулације бројних важних резултата. Што је најважније, резултати у анализи која укључује тригонометријске функције могу се елегантно навести, када су аргументи функција изражени у радијанима. На пример, употреба радијана доводи до једноставне формуле лимита
што је основа многих других идентитета у математици, укључујући
Због ових и других својстава, тригонометријске функције се појављују у решењима математичких проблема који нису очигледно повезани са геометријским значењима функција (на пример, решења диференцијалне једначине: , израчунавања интеграла и тако даље). У свим таквим случајевима, нађено је да су аргументи функција најприродније написани у облику који одговара, у геометријском контексту, радијанском мерењу углова.
Тригонометријске функције такође имају једноставна и елегантна проширења серије када се користе радијани. На пример, када је x у радијанима, Тејлоров низ за -{sin x}- постаје:
Ако је x изражено у степенима, онда би серија садржала непрегледне факторе који укључују степене /180: ако је x број степени, број радијана је , тако да
У сличном духу, математички важни односи између синусних и косинусних функција и експоненцијалне функције (погледајте, на пример, Ојлерову формулу) могу се елегантно изразити, када су аргументи функција у радијанима (а иначе неуредни).
Димензионална анализа
Иако је радијан јединица мере, он је бездимензионална величина. Ово се може видети из раније дате дефиниције: угао везан за центар круга, мерен у радијанима, једнак је односу дужине затвореног лука и дужине полупречника круга. Пошто се мерне јединице поништавају, овај однос је бездимензионалан.
Иако поларне и сферне координате користе радијане за описивање координата у две и три димензије, јединица се изводи из радијусне координате, тако да је мера угла и даље бездимензионална.For a debate on this meaning and use see:, , , and
Види још Тригонометрија Хармонијска анализа Угаона фреквенција Степени Пи
Напомене
Референце
Литература
Категорија:СИ изведене јединице Категорија:Тригонометрија Категорија:Угао Категорија:Јединице за угао Категорија:Природне јединице Категорија:Пи