мини|350п|Poređenje fazne karakteristike kod ova tri tipa filtra мини|250п|Poređenje amplitudske karakteristike kod ova 3 tipa filtra мини|350п|Poređenje Besselovog i Batervortovог filtra Batervortov filter je tip filtra koji ima ravnu opadajuču karakteristiku, u propusnom opsegu i smatra se kompromisom između Čebiševog i Beselovog filtra. Filter je nazvan po Britanskom inžinjeru Stivenu Batervortu (-{Stephen Butterworth}-) koji ga je prvi opisao 1930. godine.
Uopšteno Ovaj termin se više odnosi na tip odziva nego na specifičan tip filtra. Prenosna funkcija se tako dimenzioniše da nema „talasanja“ u propusnom opsegu i opada prema nuli u nepropusnom. Ovo se postiže izjednačavanjem izvoda prenosne funkcije sa nulom, na centralnoj učestanosti filtra (to je npr. nula za niskopropusne filtre).
Ovdje ću detaljnije obraditi niskopropusne, visokopropusne kao i filtre propusnike opsega, u slučaju kad je dato kolo nižeg ili kolo višeg reda. Filtri prvog reda su oni kod kojih odziv opada 6-{dB}- po oktavi (20-{dB}- po dekadi). Kod filtera drugog reda, riječ je o -12 -{dB}-/oct, dok se kod trećeg reda radi o -18/oct.
Dizajn filtra Postoje nekoliko različitih topologija, odnosno vrsta izrade ovog linearnog, analognog filtra. Najkorištenije su Kauerova i Salen-Ki topologije.
Salen-Ki topologija Salen-Ki topologija koristi aktivne i pasivne komponente (uglavnom su to operacioni pojačavači, otpornici i kondenzatori). Svaki stepen Salen-Kija dodaje po par polova. Na kraju se svi stepeni filtra povežu redno. Generički primjer Sallen-Key topologije
Analiza generičkog primjera Sa slike se vidi da je kod OP-a zatvorena negativna sprega pa je stoga -{V-=V+=Vout}-. Napišimo jednačinu za čvor X:
ili:
Struja je ista kroz elemente -{Z}-2 i -{Z}-4 pa je očigledno:
Iz čega dobijamo
Uvrstimo li to u jednačinu za čvor X, dobijamo:
Iz čega dobijamo prenosnu funkciju:
Ako bi komponenta -{Z}-3 bila uzemljena, filter bi bio djelitelj napona (na -{Z}-1 i -{Z}-3), kaskadno vezan sa djeliteljem napona na -{Z}-2 i -{Z}-3.
Zavisno od odabira pasivnih komponenti za (otpornika i kondenzatora) može se dobiti niskopropusni, visokopropusni ili filter propusnik opsega.
Primjer analize niskopropusnog filtra мини|350п|Niskopropusni filter napravljen implementacijom Salln-Ki topologije
Za amortizaciju (kao bafer) se koristi OP, ali se takođe može koristiti i BJT emiter . Komponente su odabrane na sljedeći način: Z1=R1; Z2=R2; Z3=1/(sC1); Z4=1/(sC2) .
Uvrštavanjem ovih vrijednosti u izraz za prenosnu funkciju koji smo dobili u prethodnom slučaju, dobijamo:
Da bi zadovoljili opštu formulu:
svodimo na:
iz čega se lako zaključi da je: tj. : Takođe se dobija da je :
predstavlja cutoff frekvenciju ( naravno cutoff kružnu učestanost), dok je faktor dobrote (bezdimenziona veličina) koji opisuje koliko je visok i širok pik odziva filtra. Veći Q faktor označava manji gubitak energije u odnosu na frekvenciju, tj. oscilacije se sporije gase (odumiru).
Dizajner mora odabrati parametre i zavisno od situacije. Naprimjer, Batervortov filter drugog reda, koji ima najveći flet odziv u propusnom opsegu, ima koji iznosi . Imamo 2 parametra za podešavanje, a 4 nepoznate (), obično se uzima jedan otpornik kao odnos sa drugim (tipa ). Isto se uradi i kod odabira kondendzatora.
Primjer odabira elemenata мини|350п|Primjer odabira elemenata Kolo sa slike ima od 15.9 kHz i faktor od 0.5. Prenosna funkcija izgleda ovako:
Poslije uvrštavanja (; ), dobijamo:
Odavde vidimo da se jednostavnom promjenom odnosa R,C ili m,n može postići ista frekvencija i faktor dobrote za bilo koji filter.
Primjer analize visokopropusnog filtra оквир|десно|Konfiguracija visokopropusnog filtra sa frekvencijom odsijecanja fc=72 Hz i faktorom dobrote Q = 0. 5. Analiziraćemo visokopropusni filter drugog reda, sa slike. Njegova prenosna funkcija će biti oblika:
Iz jednačina:
Sređivanjem se dobija:
Upoređivanjem jednačina se dobija:
Primjer analize filtra propusnika opsega оквир|десно|Figure 5: Filatar propusnik opsega Na slici je prikazan bandpass filter implementiran u VCVS topologiji. Iako nije ista topologija, metod analize je sličan i lakše ga je objasniti na ovom primjeru. Prenosna funkcija ovog filtra je data izrazom:
Centralna učestanost (frekvencija gdje odziv ima svoj pik) se dobija izrazom:
Naponski djeljitelj u kolu sa negativnom povratnom spregom kontroliše gejn. "Unutrašnji gejn" od operacionog pojačavača je
dok je gejn pojačavača, na frekvenciji pika, dat izrazom:
Vidimo da se mora držati ispod 3 da filter ne bi oscilirao. Filter se obično optimizuje odabirom i .
Butterworth filtri višeg reda Red filtra je broj njegovih polova i koji ćemo upotrijebiti, zavisi od praktične potrebe. Aktivan filter sa N polova ima rolloff rate od N x 6dB/oktavi (N x 20dB/dekadi). Slično, odziv visokopropusnog filtra sa N polova povecava se po N x 6dB/oktavi, sve do cutoff frekvencije. U oba slučaja, f_c je definisano kao:
Magnituda naponske prenosne funkcije za niskopropusne filtre -{N}--tog reda je:
мини|250п|Filter trećeg reda (slika 6 u daljoj analizi) Za visokopropusne filtre -{N}--tog reda, magnituda naponske prenosne funkcije je:
Na slici je prikazan niskopropusni Batervortov filter trećeg reda (ima 3 pola). Tri otpornika su jednaka a odnos između kapacitivnosti tako što se prvi i drugi izvod prenosne funkcije izjednače sa nulom. мини|250п|Filter četvrtog reda
Filtri višeg reda se mogu konstruisati dodavanjem još -{RC}- mreža. Međutim, efekat punjenja za svaku dodatnu -{RC}- mrežu postaje sve vidljiviji. Ovo se prevazilazi tako što se kaskadno (redno) vežu filtri drugog reda sa OP-om (znači svaki filter ima po jedan OP u sebi).Zbog niske izlazne otpornosti OP-a, gotovo da nema efekta punjenja između kaskada. Primjer takvog filtra se može vidjeti na slici. Maksimalno ravan odziv se ne dobija prostim vezivanjem na red ovih dvo-polnih filtera. Potrebno je uskladiti kapacitivnosti izjednačavanjem prva tri izvoda funkcije prenosa, sa nulom. Na sličan način se mogu konstruisati i filtri višeg reda. Propusnici i nepropusnici opsega koriste sličnu konfiguraciju.
Primjer rješavanja niskopropusnog aktivnog Butterworth filtra trećeg reda Od raznih topologija koje su nam na raspolaganju za izradu filtra višeg reda, Sallen-Key zahtijeva najmanji broj komponenti pa je takav filter lakše analizirati (npr. samo jedan OP za 3-polni odziv 18 -{dB/oct}-). Slijedi opis analize sklopa sa slike 6.
Posmatramo čvor -{3b}- (gdje je -{v3 = v3a = v3b}-). Jednačina za napon čvora se može napisati i ovako:
Označimo:
Zatim:
Naponi za ostale čvorove glase:
Prenosna funkcija -{H(s) = Vout/Vin}-, sada izgleda -{H(s)}-=
Primijetimo da je opšti oblik za -{H(s)}- 3-polnog Butterworth niskopropusnog filtra na cutoff frekvenciji od 1 rad/sec:
Primijetimo:
gdje je Kac = M.
Izaberemo izlazni rast od: -{Kac}- = 3 (9,5 -{dB}-)
Takođe, izaberemo sljedeće vrijednosti komponenti:
Rješavajuči po -{R1, R2, R3}- i -{R4 dobijamo}-: -{R1= 816.46 Om, R2= 481.26 Om, R3= 848.33 Om, R4= 10 kOm}-
Dozvoljeno nam je da promijenimo vrijednosti R1-R4 prema EIA standardu od 1% tolerancije po dekadi: -{R1= 825 Om, R2= 487 Om, R3= 845 Om, R4= 20 kOm}- I dobijamo: Датотека:jednacina 13.jpg
Praktični savjeti: Za različite vrijednosti rasta mogu se koristiti vrijednosti komponenti sa tabele ispod, ili svaki blok zasebno rješavati za različitu vrijednost Kac. Koristite samo pozitivne pozitivne potkorjene vrijednosti. Programski paket -{Mathcad(TM)}- može pomoći pri računu.
-{M(Kac)}-0-{dB}-6-{dB}-12-{dB}-18-{dB}-24-{dB}-30-{dB}-36-{dB}- -{R1(Ω)}- 1.292 15.652 1.624 4.305 3.246 1.437 3.234 -{R2(Ω)}- 2.093 14.694 4.067 1.750 2.134 16.260 7.198 -{R3(Ω)}- 3.698 4.348 15.144 13.276 1.444 42.794 42.950 -{R4(Ω)}-0 10.000 30.000 70.000 15.000 31.000 63.000 -{R5(Ω)}-∞ 10.000 10.000 10.000 1.000 1.000 1.000 -{C1(F)}-10-310-410-310-310-310-310-3 -{C2(F)}-10-310-410-410-410-410-510-5 -{C3(F)}-10-410-410-410-410-310-410-4
-{M(Kac)}-42-{dB}-48-{dB}-54-{dB}-60-{dB}-66-{dB}-72-{dB}-78-{dB}- -{R1(Ω)}- 1.640 1.242 2.243 1.030 1.137 1.700 6.053 -{R2(Ω)}- 13.615 69.066 32.123 185.004 285.242 136.553 47.723 -{R3(Ω)}- 4.479 116.556 138.815 5.249 308.473 430.832 346.170 -{R4(Ω)}- 127.000 25.500 51.100 102.300 20.470 40.950 81.910 -{R5(Ω)}- 1.000100100100101010 -{C1(F)}-10-310-310-310-310-310-310-3 -{C2(F)}-10-510-610-610-610-710-710-7 -{C3(F)}-10-310-410-410-310-410-410-4
Primjer tropolnog Batervortovog filtra levo|600px
U prikazanoj šemi: 1. Tranzistori Mm6, 7, 8, 9 i 10 su tranzistori za strujno ogledalo u šemi za mješač. 2. Prvi transkonduktor čine -{Mf1}- i 2 (i aktivno opterećenje). On se ponaša kao zaštita između mješača i filtra. 3. -{Rf1}- i -{Cf1}- su dva od uređaja koji se koriste u normalizovanom niskopropusnom filtru (podešenom na frekvenciju i impedansu) 4. Četiri transkonduktorske ćelije (-{Mf2}--10 i odgovarajuća aktivna opterećenja) i kondenzator -{Cf2}- čine aktivni induktor. 5. Rf2 i Cf3 su krajnje komponente normalizovanog niskopropusnog filtra.
Mreža za pomjeranje faze ima centralnu frekvenciju od 5,5 -{MHz}- i propusni opseg (gdje je fazni pomak linearan) od oko 1 -{MHz}-. To je u suštini paralelna -{RLC}- mreža gdje je induktor aktivni induktor.
levo|300px
U gornjoj šemi: 1. Kondenzatori -{Cps1}- i 2 su izabrani tako da je njihova reaktansa jednaka reaktansi -{Rps1}-. 2. -{R}- je izabrano tako da određeni faktor dobrote -{Q}- (i potom širinu propusnog opsega fazno pomjerajuće mreže). 3. -{Cps3}- i aktivni induktor (dvije transkonduktorske ćelije) podešavaju centralnu frekvenciju u mreži za pomjeranje faze.
Kauer topologija мини|350п|Kauer topologija Kauer topologija koristi pasivne komponente (kondenzatore i kalemove) za implementaciju linearnog analognog filtra. Izraz za -{k}--ti element je dat u formi: ; k = neparno ; k = parno
Filter se može realizovati i sa serijski vezanim induktivitetom na početku, ali se u tom slučaju uzima da je -{Lk}- od -{k}- neparno a -{Ck}- od -{k}- parno.
Reference
Литература
Категорија:Електронско инжињерство Категорија:Електронски дизајн