Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора -{a}- и -{b}- из векторског простора -{V}-, запис ове операције је следећи:
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
При чему су -{u}-, -{v}- и -{w}- вектори из -{V}- а α произвољан реалан број.
мини|300п|десно|Приказ стандардног скаларног производа вектора Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:
Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама: и
Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:
Доказ Формула : се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:
Ако је , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:
Пошто је једнак , следи:
Одакле се налази:
Одатле се добија коначна формула:
Ортогонални вектори
Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори и узајамно нормални добија се: .
Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.
Особине Скаларни производ вектора поседује следеће особине: комутативност
дистрибутиван је у односу на сабирање
у општем случају није асоцијативан за њега важи следеће:
Коришћење за израчунавање интензитета вектора Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.
Пошто је:
За специјалан случај када је једнакост прелази у:
На основу тога се закључује:
Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.
Примена у физици Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:
Геометријска интерпретација Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.
Троструки производ
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Пројекција вектора на вектор Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на векторprojekcija vektora na vektor тј. скаларна пројекција вектора na vektor скаларна пројекција вектора na vektor векторска пројекција вектора на вектор векторска пројекција вектора на вектор
Последице скаларног множења skalami proizvod a b= 0
ili je bar jedan od vektora ()
Види још Вектор Скалар Векторски производ вектора Мешовити производ вектора
Референце
Литература
Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
Спољашње везе
-{Explanation of dot product including with complex vectors}- -{"Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.}- Линеарна алгебра: Увод у векторе, видео на Кан академији Векторски простор на -{Wolfram MathWorld}- Векторски простори, белешке за предавања, Универзитет у Единбургу Увод у векторске просторе , из серије предавања -{Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras.}-
Категорија:Бинарне операције Категорија:Физика Категорија:Линеарна алгебра Категорија:Вектори Категорија:Тензори