Julius Wilhelm Richard Dedekind, född 6 oktober 1831 i Braunschweig, Tyskland, död 12 februari 1916 i Braunschweig, var en tysk matematiker som gjorde viktiga bidrag till talteori, abstrakt algebra (särskilt ringteori) och de axiomatiska grunderna för aritmetik. Hans mest kända bidrag är definitionen av reella tal genom begreppet Dedekindsnitt. Han anses också vara en pionjär inom utvecklingen av modern mängdteori och matematikfilosofin känd som logicism.
Biografi Dedekinds far var Julius Levin Ulrich Dedekind, administratör för Collegium Carolinum i Braunschweig. Hans mor var Caroline Henriette Dedekind (född Emperius), dotter till en professor vid Collegium. Richard Dedekind hade tre äldre syskon. Som vuxen använde han aldrig namnen Julius Wilhelm. Han föddes i Braunschweig, vilket var där han bodde större delen av sitt liv och dog. Hans kropp vilar på Braunschweigs huvudkyrkogård.
Dedekind studerade först vid Collegium Carolinum 1848 innan han flyttade till universitetet i Göttingen 1850. Där undervisades han i talteori av professor Moritz Stern. Gauss undervisade fortfarande, om än mestadels på elementär nivå, och Dedekind blev hans sista student. Dedekind doktorerade 1852 för en avhandling med titeln Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Om teorin om eulerska integraler "). Denna avhandling visade dock inte den talang som framgår av Dedekinds senare publikationer.
Vid den tiden var Berlins universitet, inte Göttingen, den viktigaste institutionen för matematisk forskning i Tyskland. Dedekind flyttade därför till Berlin för två års studier, där han och Bernhard Riemann var samtida och tilldelades båda habiliteringen 1854. Dedekind återvände till Göttingen för att undervisa som privatdocent och ge kurser i sannolikhet och geometri. Han studerade ett tag med Peter Gustav Lejeune Dirichlet, och de blev goda vänner. På grund av kvarstående svagheter i sina matematiska kunskaper studerade han elliptiska och abelska funktioner. Ändå var han också den förste i Göttingen att föreläsa om Galoisteori. Ungefär vid denna tidpunkt blev han en av de första personerna som förstod vikten av gruppbegreppet för algebra och aritmetik.
År 1858 blev han professor vid polytekniska skolan i Zürich (nuvarande ETH Zürich). När Collegium Carolinum uppgraderades till en Technische Hochschule (tekniska högskolan) år 1862 återvände Dedekind till sitt hemland Braunschweig, där han tillbringade resten av sitt liv och undervisade vid institutet. Han gick i pension 1894, men undervisade ibland och fortsatte att publicera. Han gifte sig aldrig utan bodde istället med sin syster Julia.
Dedekind valdes in i akademierna i Berlin (1880) och Rom, och i Franska vetenskapsakademin (1900). Han fick hedersdoktorat från universiteten i Oslo, Zürich och Braunschweig.
Arbete
Medan Dedekind undervisade i kalkyl för första gången på den polytekniska skolan, utvecklade han begreppet som nu kallas ett Dedekindsnitt (tyska: Schnitt), numera en standarddefinition av reella tal. Idén bakom ett snitt är att ett irrationellt tal delar upp de rationella talen i två klasser (mängder), där alla tal i en klass (större) är strikt större än alla tal i den andra (mindre) klassen. Till exempel definierar kvadratroten ur 2 alla icke-negativa tal vars kvadrater är mindre än 2 och de negativa talen i den mindre klassen, och de positiva talen vars kvadrater är större än 2 i den större klassen. Varje plats på tallinjekontinuumet innehåller antingen ett rationellt eller ett irrationellt tal. Således finns det inga tomma platser, luckor eller diskontinuiteter. Dedekind publicerade sina tankar om irrationella tal och Dedekindsnitt i sin pamflett "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Kontinuitet och irrationella tal");Ewald, William B., ed. (1996) "Continuity and irrational numbers", p. 766 in From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford University Press. full text i modern terminologi, Vollständigkeit, fullständighet.
Dedekind definierade två mängder som "lika" när det finns en ett-till-ett-korrespondens mellan dem. 1901 edition, published by Open Court Publishing Company, translated by Wooster Woodruff Beman. Han åberopade likhet för att ge den första exakta definitionen av en oändlig mängd: en mängd är oändlig när den är "lik en egen del av sig själv", 1901 edition, published by Open Court Publishing Company, translated by Wooster Woodruff Beman. i modern terminologi, är lika stor som en av dess egen delmängder. Således kan mängden N av naturliga tal visas vara likartad med delmängden av N vars medlemmar är kvadraterna av varje medlem av N, (N → N2):
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ↓ N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...
Dedekinds arbete inom detta område föregick Georg Cantors, som allmänt anses vara mängdlärans grundare. Likaså föregick hans bidrag till matematikens grundvalar senare verk av viktiga förespråkare för logicismen, såsom Gottlob Frege och Bertrand Russell.
Dedekind redigerade de samlade verken av Lejeune Dirichlet, Gauss och Riemann. Dedekinds studier av Lejeune Dirichlets arbete ledde honom till hans senare studier av algebraiska talfält och ideal. År 1863 publicerade han Lejeune Dirichlets föreläsningar om talteori som Vorlesungen über Zahlentheorie ("Föreläsningar om talteori"), om vilka det har skrivits att:
Även om boken med säkerhet är baserad på Dirichlets föreläsningar, och även om Dedekind själv under hela sitt liv hänvisade till boken som Dirichlets, skrevs själva boken helt av Dedekind, till största delen efter Dirichlets död. — Edwards, 1983
Det var inom denna tidsram som han utvecklade Dedekindsnittet år 1872.The Mathematical Development of Set Theory from Cantor to Cohen Page 3 Utgåvorna av Vorlesungen från 1879 och 1894 innehöll tillägg som introducerade begreppet ideal, grundläggande för ringteorin. (Ordet "Ring", som senare introducerades av Hilbert, förekommer inte i Dedekinds verk.) Dedekind definierade ett ideal som en delmängd av en mängd tal, bestående av algebraiska heltal som uppfyller polynomekvationer med heltalskoefficienter. Begreppet utvecklades vidare i händerna på Hilbert och, särskilt, på Emmy Noether. Ideal generaliserar Ernst Eduard Kummers idealtal, utformade som en del av Kummers försök 1843 att bevisa Fermats sista sats. (Därmed kan Dedekind sägas ha varit Kummers viktigaste lelev.) I en artikel från 1882 tillämpade Dedekind och Heinrich Martin Weber ideal på Riemannytor, vilket gav ett algebraiskt bevis på Riemann-Roch-satsen.
År 1888 publicerade han en kort monografi med titeln Was sind und was sollen die Zahlen? ("Vad är tal och vad är de bra för?" Ewald 1996: 790), Online available at: MPIWG GDZ UBS som inkluderade hans definition av en oändlig mängd. Han föreslog också en axiomatisk grund för de naturliga talen, vars primitiva begrepp var talet ett och successionsfunktionen. Året därpå formulerade Giuseppe Peano, med hänvisning till Dedekind, en motsvarande men enklare uppsättning axiom, nu standardaxiomerna.
Dedekind bidrog även med andra bidrag till algebran. Till exempel skrev han omkring 1900 de första artiklarna om modulära gitter. År 1872, under en semester i Interlaken, träffade Dedekind Georg Cantor. Dedekind hjälpte till i Cantors dispyter med Leopold Kronecker, som filosofiskt motsatte sig Cantors transfinita tal.. Gjorda fynd från tidigare korrespondenser tyder på att Cantor plagierade Dedekinds bevis på oändligheten vilket resulterade i en splittrad vänskap.https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/ https://doi.org/10.1006/hmat.1993.1030
Bibliografi Primärlitteratur på engelska: 1890. "Letter to Keferstein" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press: 98–103. 1963 (1901). Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover. Contains English translations of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen? 1996. Theory of Algebraic Integers. Stillwell, John, ed. and trans. Cambridge Uni. Press. A translation of Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press. 1854. "On the introduction of new functions in mathematics," 754–61. 1872. "Continuity and irrational numbers," 765–78. (translation of Stetigkeit...) 1888. What are numbers and what should they be?, 787–832. (translation of Was sind und...) 1872–82, 1899. Correspondence with Cantor, 843–77, 930–40.
Primärlitteratur på tyska: Gesammelte mathematische Werke (Complete mathematical works, Vol. 1–3). Hämtad 5 augusti 2009.
Se även Dedekinds etafunktion Dedekinds psifunktion Dedekinds zetafunktion Dedekinddomän Dedekindsnitt Dedekindsumma Ideal (ringteori)
Referenser
Noter
Vidare läsning
Gillies, Donald A., 1982. Frege, Dedekind, and Peano on the foundations of arithmetic. Assen, Netherlands: Van Gorcum. Ferreirós, José, 2007. Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel: Birkhäuser, chap. 3, 4 and 7.
Det finns en online-bibliografi online bibliography över sekundärlitteraturen om Dedekind. Se även Stillwell's "Introduction" to Dedekind (1996).
Externa länkar
Dedekind, Richard, Essays on the Theory of Numbers. Open Court Publishing Company, Chicago, 1901. at the Internet Archive Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/. The Infinite Heist Story of "the hard-fought journey to embed the concept of infinity into math’s foundations" involving Georg Cantor, Dedekind, Leopold Kronecker and others.
Kategori:Tyska matematiker under 1800-talet Kategori:Tyska matematiker under 1900-talet Kategori:Talteoretiker Kategori:Algebraiker Kategori:Matematikfilosofer Kategori:Alumner från Göttingens universitet Kategori:Alumner från Humboldt-Universität zu Berlin Kategori:Personer verksamma vid ETH Zürich Kategori:Personer verksamma vid Göttingens universitet Kategori:Hedersdoktorer vid universitetet i Oslo Kategori:Ledamöter av Franska vetenskapsakademien Kategori:Tyska eponymer Kategori:Personer från Braunschweig Kategori:Födda 1831 Kategori:Avlidna 1916 Kategori:Män Kategori:Ugglan