Kvadrattriangulärt tal (eller triangulärt kvadrattal) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal. Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal.
De första kvadrattriangulära talen är:
0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625 …
Explicita formler Skriv Nk för det k:te kvadrattriangulära talet, och skriv sk och tk för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel, så att
Serierna Nk, sk och tk är OEIS-talföljderna , , och .
År 1778 fastställde Leonhard Euler den explicita formeln
Andra explicita formler (som ges genom att utöka denna formel) som kan vara praktiska är
Motsvarande explicita formler för sk och tk är
och
Pells ekvation Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt: Varje triangeltal är av formen t(t + 1)/2. Därför söker vi heltal t, s, så att
Med lite algebra blir det
genom att x = 2t + 1 och y = 2s, får vi den Diofantiska ekvationen
vilket är en förekomst av Pells ekvation. Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen Pk som
och därav ges alla lösningar av
Det finns många identiteter av Pelltal, och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen.
Differensekvationer Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal, liksom för sidorna i kvadraten och triangeln. Vi har
Vi har
Andra karakteriseringar Alla kvadrattriangulära tal har formen b2c2, där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur 2.
A. V. Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal, nämligen:
Om triangeltalet n(n+1)/2 är kvadratiskt, då är det nästa större triangeltalet
Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat, eftersom det är en produkt av tre kvadrater: 2^2 (av exponenten), (n(n+1))/2 (det n:te triangeltalet, av bevis förutsättande) och (2n+1)^2 (av exponenten). Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat, vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda, vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan, som ger en annan kvadratisk lösning.
Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är:
Numeriska data Eftersom k blir större så är förhållandet tk / sk och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal
Källor
Externa länkar Triangeltal som även är kvadrattal på cut-the-Knot
Michael Dummett's lösning
Kategori:Figurtal Kategori:Heltalsmängder