Inom matematiken är ett k-hyperperfekt tal ett naturligt tal n för vilka likheten n = 1 + k(σ(n) − n − 1) innehar, där σ(n) är sigmafunktionen (det vill säga summan av alla positiva delare av n). Ett hyperperfekt tal är ett k-hyperperfekt tal för något heltal k. Hyperperfekta tal generaliserar perfekta tal, som är 1-hyperperfekta.
De första talen i talföljden av k-hyperperfekta tal är:
6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, …
med motsvarande värden för k
1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12, 2, 30, 1, 11, 6, 2, 60, 48, 19, 132, 132, 10, 192, 2, 31, 168, 108, 66, 35, 252, 78, 132, 342, 366, 390, 168, 348, 282, 498, 540, 546, 59, 12, 378, 438, 4, 222, 336, 18, 660, 138, 798, 810, 528, 450, 75, 252, 150, 948, 162, …
De första hyperperfekta talen som inte är perfekta är:
21, 301, 325, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, 1063141, 1232053, …
Lista över hyperperfekta tal I följande tabell visas de första k-hyperperfekta talen för vissa värden på k, tillsammans med länk till nätuppslagsverket över heltalsföljder (OEIS):
k OEIS k-hyperperfekt tal 1 6, 28, 496, 8128, 33550336, … 2 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, … 3 325, … 4 1950625, 1220640625, … 6 301, 16513, 60110701, 1977225901, … 10 159841, … 11 10693, … 12 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, … 18 1333, 1909, 2469601, 893748277, … 19 51301, … 30 3901, 28600321, … 31 214273, … 35 306181, … 40 115788961, … 48 26977, 9560844577, … 59 1433701, … 60 24601, … 66 296341, … 75 2924101, … 78 486877, … 91 5199013, … 100 10509080401, … 108 275833, … 126 12161963773, … 132 96361, 130153, 495529, … 136 156276648817, … 138 46727970517, 51886178401, … 140 1118457481, … 168 250321, … 174 7744461466717, … 180 12211188308281, … 190 1167773821, … 192 163201, 137008036993, … 198 1564317613, … 206 626946794653, 54114833564509, … 222 348231627849277, … 228 391854937, 102744892633, 3710434289467, … 252 389593, 1218260233, … 276 72315968283289, … 282 8898807853477, … 296 444574821937, … 342 542413, 26199602893, … 348 66239465233897, … 350 140460782701, … 360 23911458481, … 366 808861, … 372 2469439417, … 396 8432772615433, … 402 8942902453, 813535908179653, … 408 1238906223697, … 414 8062678298557, … 430 124528653669661, … 438 6287557453, … 480 1324790832961, … 522 723378252872773, 106049331638192773, … 546 211125067071829, … 570 1345711391461, 5810517340434661, … 660 13786783637881, … 672 142718568339485377, … 684 154643791177, … 774 8695993590900027, … 810 5646270598021, … 814 31571188513, … 816 31571188513, … 820 1119337766869561, … 968 52335185632753, … 972 289085338292617, … 978 60246544949557, … 1050 64169172901, … 1410 80293806421, … 2772 95295817, 124035913, … 3918 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, … 9222 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, … 9828 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, … 14280 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, … 23730 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, … 31752 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, … 55848 15166641361, 44783952721, 67623550801, … 67782 18407557741, 18444431149, 34939858669, … 92568 50611924273, 64781493169, 84213367729, … 100932 50969246953, 53192980777, 82145123113, …
Det kan bevisas att om k > 1 är ett udda heltal och p = (3k + 1) / 2 och q = 3k + 4 är primtal, då är p2q k-hyperperfekt. Judson S. McCranie förmodade år 2000 att alla k-hyperperfekta tal för udda k > 1 är av denna form, men hypotesen har varken bevisats eller motbevisats än. Det kan också bevisas att om p ≠ q är udda primtal och k är ett heltal sådana att k(p + q) = pq - 1, då är pq k-hyperperfekt.
Det är också möjligt att bevisa att om k > 0 och p = k + 1 är primtal, då resulterar det att för alla i > 1 sådana att q = pi - p + 1 är primtal, och därav är n = pi - 1q k-hyperperfekt. Följande tabell listar de kända värdena för k och motsvarande värden på i för vilket n är k-hyperperfekt:
k OEIS Värde av i 16 11, 21, 127, 149, 469, … 22 17, 61, 445, … 28 33, 89, 101, … 36 67, 95, 341, … 42 4, 6, 42, 64, 65, … 46 5, 11, 13, 53, 115, … 52 21, 173, … 58 11, 117, … 72 21, 49, … 88 9, 41, 51, 109, 483, … 96 6, 11, 34, … 100 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …
Källor
. . . . . . . Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, (p. 114-134)
Kategori:Sigmafunktionen Kategori:Heltalsmängder