Inom elementär och algebraisk talteori är kubisk reciprocitet en samling satser om lösbarheten av kongruensen x3 ≡ p (mod q); ordet "reciprocitet" kommer från den viktigaste satsen, som säger att om p och q är primtal i ringen av Eisensteinheltal, båda relativt prima till 3, är kongruensen x3 ≡ p (mod q) lösbar om och bara om x3 ≡ q (mod p) är.
Heltal
En kubisk rest (mod p) är ett godtyckligt tal som är en tredje potens av ett heltal (mod p). Om x3 ≡ a (mod p) saknar heltalslösningar kallas a för en kubisk ickerest (mod p).cf. Gauss, BQ § 2
Såsom ofta inom talteori är det enklast att arbeta med primtal, så i denna sektion är alla p, q, etcetera positiva udda primtal.
Det första att notera då man arbetar med ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 2 (mod 3) varje tal en kubisk rest (mod q). Låt q = 3n + 2; eftersom 0 = 03 är en kubisk rest, anta att x inte är delbar med q. Då är enligt Fermats lilla sats
är en kubisk rest (mod q).
Härmed är det enda intressanta fallet det då p ≡ 1 (mod 3).
Euler
För relativt prima heltal m och n, definiera den rationella kubiska restsymbolen som
En sats av FermatGauss, DA, Art. 182Cox, Ex. 1.4–1.5 säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) är summan av en kvadrat och tre gånger en kvadrat: p = a2 + 3b2 och att (förutom tecknen a och b) är denna representation unik.
Baserat på detta gjorde EulerEuler, Tractatus, §§ 407–401Lemmermeyer, p. 222–223 följande förmodanden:
Gauss
GaussGauss, DA footnote to art. 358Lemmermeyer, Ex. 7.9 bevisade att om är från vilket följer ganska lätt.
Se även Kvadratiska reciprocitetssatsen Kvartisk reciprocitet Oktisk reciprocitet Eisensteinreciprocitet Artinreciprocitet
Källor
Externa länkar
Kategori:Satser inom algebraisk talteori Kategori:Modulär aritmetik