En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket)"Lie bracket" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken , Luleå Tekniska Högskola, sid. 23."Lie bracket" i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan, sid. 35. . som skrivs . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn .
Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.
Definition En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → , som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren
(1) Bilinjäritet:
för alla a, b K och alla x, y, z .
(2) För alla x gäller:
(3) Jacobi-identiteten:
för alla x, y, z g.
(4) Antikommutativitet: Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen och med användande av villkor (2) går det att visa att för alla element x, y i , vilket implicerar
En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.
Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, behöver inte vara lika med . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.
Exempel Ett konkret exempel på en liealgebra är med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.
Se även Kvasiliealgebra Liealgebrakohomologi Liebialgebra Liekoalgebra Liesuperalgebra Ortogonal symmetrisk Liealgebra Poissonalgebra
Referenser Noter
Källor Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. Kac, Victor G. et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/ Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. Höglund, Joel Lie-algebror, Examensarbete, rapport 2013:16, matematiska institutionen, Uppsala universitet, http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:630755/FULLTEXT01.pdf